Sine, Cosine, and Tangent · Seno, Cosseno e Tangente
| English | Português |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosseno |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitário |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianos |
Three ratios that unlock circles
- Long ago, surveyors and astronomers needed to link angles to lengths.
- The answer was three ratios inside a right triangle: sine, cosine, and tangent.
- They turn an angle into a number, and a number back into an angle.
- These three functions are the doorway to everything periodic.
Três razões que desbloqueiam círculos
- Há muito tempo, topógrafos e astrônomos precisavam ligar ângulos a comprimentos.
- A resposta foram três razões dentro de um triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente.
- Elas transformam um ângulo em um número, e um número de volta em um ângulo.
- Estas três funções são a porta para tudo o que é periódico.
Right-triangle ratios
- For an acute angle in a right triangle, label the sides opposite, adjacent, and hypotenuse.
- Sine 正弦: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- Cosine 余弦: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- Tangent 正切: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. Remember SOH-CAH-TOA.
Razões do triângulo retângulo
- Para um ângulo agudo num triângulo retângulo, rotule os lados oposto, adjacente e hipotenusa.
- Seno 正弦: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- Cosseno 余弦: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- Tangente 正切: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. Lembre-se SOH-CAH-TOA.
In a right triangle, $\sin\theta$ equals… · Em um triângulo retângulo, $\sin\theta$ equivale a…
SOH: sine · seno is opposite over hypotenuse. CAH: cosine is adjacent over hypotenuse. TOA: tangent is opposite over adjacent. · SOH: seno é oposto sobre hipotenusa. CAH: cosseno é adjacente sobre hipotenusa. TOA: tangente é oposto sobre adjacente.
The unit circle
- Draw a circle of radius $1$ centred at the origin — the unit circle 单位圆.
- A point on it at angle $\theta$ has coordinates exactly $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- So cosine is the x-coordinate and sine is the y-coordinate.
- This lets angles beyond $90°$ have sine and cosine too — all the way around.
O círculo unitário
- Desenhe um círculo de raio $1$ centrado na origem — o círculo unitário 单位圆.
- Um ponto nele no ângulo $\theta$ tem coordenadas exatamente $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- Então cosseno é a coordenada x e seno é a coordenada y.
- Isso permite que ângulos além de $90°$ tenham seno e cosseno também — até dar a volta inteira.
Spin a point around the unit circle · Gire um ponto ao redor da circunferência unitária
The x-coordinate of the point is the cosine of the angle, and the y-coordinate is the sine. · A coordenada x do ponto é o cosseno do ângulo, e a coordenada y é o seno.
On the unit circle, a point at angle $\theta$ has coordinates… · Na circunferência unitária, um ponto no ângulo $\theta$ tem coordenadas…
On a circle of radius 1, the point is $(\cos\theta, \sin\theta)$ — cosine is the x-coordinate, sine the y. · Em um círculo de raio 1, o ponto é $(\cos\theta, \sin\theta)$ — cosseno é a coordenada x, seno a y.
Select all · todos true statements. · Selecione todas as afirmações verdadeiras.
A full circle is $360°$ (or $2\pi$ radians), not $100°$. The other three are correct. · Um círculo completo é $360°$ (ou $2\pi$ radianos), não $100°$. As outras três estão corretas.
Radians and tangent
- Angles can be measured in degrees or in radians 弧度, where a full circle is $2\pi$.
- Radians measure the arc length swept on the unit circle, so $180° = \pi$.
- Tangent connects the other two: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- On the unit circle, tangent is the slope of the line from the origin to the point.
Radianos e tangente
- Ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos 弧度, onde um círculo completo é $2\pi$.
- Radianos medem o comprimento do arco varrido no círculo unitário, então $180° = \pi$.
- Tangente conecta as outras duas: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- No círculo unitário, tangente é a inclinação da linha da origem ao ponto.
Tangent equals sine divided by ____ (so $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$). · Tangente é seno dividido por ____ (portanto $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$).
The · A tangent · tangente is sine divided by cosine: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$. · A tangente é seno dividido por cosseno: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
Angles can be measured in radians, where a full circle is $2\pi$. · Ângulos podem ser medidos em radianos, onde um círculo completo é $2\pi$.
A full turn is $360°$ or, in radians, $2\pi$. Radians measure the arc length on the unit circle. · Uma volta completa é $360°$ ou, em radianos, $2\pi$. Radianos medem o comprimento do arco na circunferência unitária.
Around and around
- As the point travels once around the circle, sine and cosine cycle through all their values.
- Past one full turn, everything repeats — which is why these functions are periodic.
- Cosine starts at $1$ (angle $0$); sine starts at $0$.
- The unit circle is the single picture behind every trig value.
Em círculos
- À medida que o ponto viaja uma volta completa pelo círculo, seno e cosseno cycleiam através de todos os seus valores.
- Após uma volta completa, tudo se repete — é por isso que essas funções são periódicas.
- O cosseno começa em $1$ (ângulo $0$); o seno começa em $0$.
- A circunferência unitária é a única imagem por trás de cada valor trigonométrico.
Keep track of your angle units. $\sin(90)$ is nearly $1$ if $90$ means degrees, but a very different value if $90$ means radians. Always know whether a problem is in degrees or radians before you compute.
Mantenha o controle das unidades de ângulo. $\sin(90)$ é quase $1$ se $90$ significa graus, mas um valor muito diferente se $90$ significa radianos. Sempre saiba se um problema está em graus ou radianos antes de calcular.
Find $\sin\theta$ and $\cos\theta$ for the angle whose unit-circle point is $(0.6, 0.8)$.
- The x-coordinate is cosine: $\cos\theta = 0.6$.
- The y-coordinate is sine: $\sin\theta = 0.8$.
- Check: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, as the unit circle requires.
Encontre $\sin\theta$ e $\cos\theta$ para o ângulo cujo ponto da circunferência unitária é $(0.6, 0.8)$.
- A coordenada x é o cosseno: $\cos\theta = 0.6$.
- A coordenada y é o seno: $\sin\theta = 0.8$.
- Verifique: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, conforme exige a circunferência unitária.
Sine, cosine, and tangent are ratios in a right triangle (SOH-CAH-TOA). On the unit circle, a point at angle $\theta$ is $(\cos\theta, \sin\theta)$, which extends the functions to any angle. Angles measure in degrees or radians ($2\pi$ per turn), and $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
Seno, cosseno e tangente são razões em um triângulo retângulo (SOH-CAH-TOA). Na circunferência unitária, um ponto no ângulo $\theta$ é $(\cos\theta, \sin\theta)$, o que estende as funções para qualquer ângulo. Os ângulos são medidos em graus ou radianos ($2\pi$ por volta), e $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.