Exponential Functions · Funções Exponenciais
| English | Português |
|---|---|
| base/beɪs/ | fundamentais |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | função exponencial |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | crescimento exponencial |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimento exponencial |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota horizontal |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | valor inicial |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
A base decide tudo
- Coloque a variável no expoente e um tipo inteiro novo de função aparece.
- $2^x$ explode para cima; $0.5^x$ derrete em direção a zero.
- Um pequeno número — a base — inverte crescimento em decaimento.
- Estas funções exponenciais modelam populações, dinheiro, medicamentos e decaimento radioativo.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
A forma de uma exponencial
- Uma função exponencial 指数函数 é $f(x) = a\,b^x$, com base $b > 0$ e $b \neq 1$.
- A variável $x$ é o expoente; a base $b$ é fixa.
- O coeficiente $a$ é a saída quando $x = 0$, já que $b^0 = 1$.
- Isso é completamente diferente de $x^2$, onde a variável é a base.
An exponential function has the form… · Uma função exponencial tem a forma…
The variable sits in the exponent · expoente over a fixed base $b$ — that is what makes it exponential, not polynomial. · A variável está no expoente sobre uma base fixa $b$ — isso é o que a torna exponencial, não polinomial.
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
Crescimento versus decaimento
- Se $b > 1$, cada passo multiplica por mais de um: crescimento exponencial 指数增长.
- Se $0 < b < 1$, cada passo multiplica por menos de um: decaimento exponencial 指数衰减.
- Sozinho a base 底数 decide para onde a curva vai.
- Curvas de crescimento varrem para cima; curvas de decaimento caem em direção ao eixo.
Cross the base past 1 to switch growth and decay · Ultrapasse a base 1 para alternar entre crescimento e declínio
y = a·bˣ
Keep b above 1 for growth; drop b below 1 for decay. Notice the curve never touches the x-axis — that is its asymptote. · Mantenha b acima de 1 para crescimento; reduza b abaixo de 1 para declínio. Note que a curva nunca toca o eixo x — esse é seu assíntota.
For · A favor $f(x) = a\,b^x$ with $a > 0$, the function shows decay when… · Para $f(x) = a\,b^x$ com $a > 0$, a função mostra declínio quando…
A base between $0$ and · e $1$ shrinks the output each step — exponential decay · decaimento exponencial. A base above $1$ grows it. · Uma base entre $0$ e $1$ diminui a saída a cada passo — declínio exponencial. Uma base acima de $1$ a aumenta.
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
Domínio, imagem e assíntota
- O domínio é todos os números reais — você pode elevar uma base a qualquer potência.
- Com $a > 0$, a imagem é $y > 0$: a saída é sempre positiva.
- O gráfico tem uma assíntota horizontal 水平渐近线 em $y = 0$, que ele se aproxima mas nunca toca.
- No lado do decaimento, ele se achata em direção ao eixo; no lado do crescimento, ele dispara.
The graph of $f(x) = a\,b^x$ has a horizontal ____ at $y = 0$ that it never crosses. · O gráfico de $f(x) = a\,b^x$ tem uma ____ horizontal em $y = 0$ que nunca cruza.
The output gets arbitrarily close to $0$ but never reaches it, giving the horizontal asymptote $y = 0$. · A saída aproxima-se arbitrariamente de $0$ mas nunca a atinge, dando a assíntota horizontal $y = 0$.
Select all · todos true statements about $f(x) = a\,b^x$ (with $a>0,\ b>1$). · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre $f(x) = a\,b^x$ (com $a>0,\ b>1$).
With $a > 0$ the output is always positive, so it never goes negative. The other three are correct. · Com $a > 0$ a saída é sempre positiva, então nunca vai negativa. As outras três estão corretas.
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
Lendo a e b no contexto
- O coeficiente $a$ é o valor inicial 初始值 — a quantidade no tempo zero.
- A base $b$ é o multiplicador por etapa: $b = 1.08$ significa $8\%$ crescimento a cada período.
- Uma base de $0.9$ significa perder $10\%$ a cada período ($b < 1$, decaimento).
- Ler esses dois números transforma a fórmula em uma história do mundo real.
In $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, what does the $500$ represent? · Em $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$, o que representa o $500$?
At $t = 0$, $1.08^0 = 1$, so $P = 500$: the coefficient $a$ is the initial value, and $1.08$ is the base (8% growth). · Em $t = 0$, $1.08^0 = 1$, então $P = 500$: o coeficiente $a$ é o valor inicial, e $1.08$ é a base (crescimento de 8%).
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
Não confunda $a\,b^x$ (exponencial) com $x^b$ (potência). Em $2^x$ a variável está no expoente e o crescimento é explosivo; em $x^2$ a variável é a base e o crescimento é apenas polinomial. É o expoente que torna exponencial.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
Um $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Valor inicial $a = 500$ (o saldo em $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, então este é um crescimento de $8\%$ por ano.
- Após $10$ anos: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0
Uma função exponencial $f(x) = a\,b^x$ coloca a variável no expoente. A base $b$ decide o crescimento ($b>1$) ou o decaimento ($0