Arithmetic and Geometric Sequences · Sequências Aritméticas e Geométricas
| English | Português |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | progressão aritmética |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | razão comum |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | progressão geométrica |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | razão comum |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | explícitas |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | recursivo |
Two ways to grow a list
- Start at $2$ and keep adding $2$: you get $2, 4, 6, 8, \dots$
- Start at $1$ and keep doubling: you get $1, 2, 4, 8, \dots$
- Both are ordered lists of numbers — sequences — but they grow in completely different ways.
- One adds the same amount; the other multiplies by the same amount.
Duas formas de crescer uma lista
- Comece em $2$ e continue somando $2$: você obtém $2, 4, 6, 8, \dots$
- Comece em $1$ e continue dobrando: você obtém $1, 2, 4, 8, \dots$
- Ambas são listas ordenadas de números — sequências — mas crescem de maneiras completamente diferentes.
- Uma soma a mesma quantidade; a outra multiplica pela mesma quantidade.
Arithmetic: add the same amount
- An arithmetic sequence 等差数列 adds a fixed number to get from each term to the next.
- That fixed number is the common difference 公差.
- In $5, 8, 11, 14, \dots$ the common difference is $+3$.
- Graphed, the terms sit on a straight line — steady, linear growth.
Aritmético: some a mesma quantidade
- Uma sequência aritmética 等差数列 adiciona um número fixo para passar de um termo para o próximo.
- Esse número fixo é a diferença comum 公差.
- Em $5, 8, 11, 14, \dots$ a diferença comum é $+3$.
- Graficamente, os termos ficam em uma linha reta — crescimento constante e linear.
An arithmetic sequence has a constant… · Uma sequência aritmética tem uma constante…
Each term is the previous one plus a fixed common difference — that steady addition makes it arithmetic. · Cada termo é o anterior mais uma diferença comum fixa — essa adição constante torna-a aritmética.
Geometric: multiply by the same amount
- A geometric sequence 等比数列 multiplies by a fixed number each step.
- That fixed number is the common ratio 公比.
- In $3, 6, 12, 24, \dots$ the common ratio is $\times 2$.
- Graphed, the terms curve upward ever more steeply.
Geométrico: multiplique pela mesma quantidade
- Uma sequência geométrica 等比数列 multiplica por um número fixo a cada passo.
- Esse número fixo é a razão comum 公比.
- Em $3, 6, 12, 24, \dots$ a razão comum é $\times 2$.
- Graficamente, os termos curvam-se para cima cada vez mais acentuadamente.
Step through a sequence term by term · Percorrer um termo de sequência termo a termo
Change the common ratio and watch a geometric sequence bend upward far faster than any arithmetic one. · Alterar a razão comum e observar como uma sequência geométrica sobe muito mais rápido do que qualquer aritmética.
A geometric sequence has a constant… · Uma sequência geométrica tem uma constante…
Each term is the previous one times a fixed common ratio — steady multiplication makes it geometric. · Cada termo é o anterior vezes uma razão comum fixa — multiplicação constante torna-a geométrica.
Explicit and recursive rules
- An explicit 显式 rule jumps straight to any term: arithmetic $a_n = a_1 + (n-1)d$; geometric $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- A recursive 递归 rule builds each term from the one before: $a_n = a_{n-1} + d$ or $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- Explicit is best for finding the 100th term without listing all the others.
- Recursive mirrors how the sequence is actually generated, step by step.
Regras explícitas e recursivas
- Uma regra explícita 显式 salta diretamente para qualquer termo: aritmético $a_n = a_1 + (n-1)d$; geométrico $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- Uma regra recursiva 递归 constrói cada termo a partir do anterior: $a_n = a_{n-1} + d$ ou $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- A explícita é ideal para encontrar o 100º termo sem listar todos os outros.
- A recursiva espelha como a sequência é realmente gerada, passo a passo.
A ____ rule defines each term using the term before it. · Uma regra ____ define cada termo usando o termo anterior.
A recursive rule like $a_n = a_{n-1} + 3$ builds from the previous term; an explicit rule jumps straight to $a_n$. · Uma regra recursiva como $a_n = a_{n-1} + 3$ constrói a partir do termo anterior; uma regra explícita vai direto para $a_n$.
A geometric sequence starts $3, 6, 12, 24, \dots$. What is the 5th term? · Uma sequência geométrica começa com $3, 6, 12, 24, \dots$. Qual é o 5º termo?
The common ratio is $2$, so the 5th term is $24 \times 2 = 48$. · A razão comum é $2$, então o 5º termo é $24 \times 2 = 48$.
Which grows faster
- Early on, an arithmetic sequence can be ahead.
- But any geometric sequence with ratio $> 1$ eventually overtakes it — and then pulls away fast.
- Adding is linear; multiplying is exponential, and exponential always wins in the long run.
- This is the same contrast that separates linear from exponential functions.
Qual cresce mais rápido
- No início, uma sequência aritmética pode estar à frente.
- Mas qualquer sequência geométrica com razão $> 1$ eventualmente a ultrapassa — e depois se afasta rapidamente.
- Somar é linear; multiplicar é exponencial, e o exponencial sempre vence a longo prazo.
- Esta é a mesma distinção que separa funções lineares de exponenciais.
Select all · todos true statements about these sequences. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre essas sequências.
Sequences can start at any value. The other three describe the add-vs-multiply difference correctly. · Sequências podem começar em qualquer valor. As outras três descrevem corretamente a diferença entre adicionar vs. multiplicar.
Check whether a list adds or multiplies before naming it. $2, 4, 6, 8$ (add 2) is arithmetic, but $2, 4, 8, 16$ (times 2) is geometric — the first two terms look identical, so always test a third term.
Verifique se uma lista soma ou multiplica antes de nomeá-la. $2, 4, 6, 8$ (soma 2) é aritmético, mas $2, 4, 8, 16$ (vezes 2) é geométrico — os primeiros dois termos parecem idênticos, então sempre teste um terceiro termo.
Find the 6th term of $4, 12, 36, \dots$.
- Ratio: $12 \div 4 = 3$, so this is geometric with $r = 3$.
- Explicit rule: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Sixth term: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
Encontre o 6º termo de $4, 12, 36, \dots$.
- Razão: $12 \div 4 = 3$, então esta é geométrica com $r = 3$.
- Regra explícita: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Sexto termo: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
An arithmetic sequence adds a common difference; a geometric sequence multiplies by a common ratio. Write either with an explicit rule (jump to any term) or a recursive rule (build from the previous term). Geometric growth eventually overtakes arithmetic.
Uma sequência aritmética adiciona uma diferença comum; uma sequência geométrica multiplica por uma razão comum. Escreva ambas com uma regra explícita (salte para qualquer termo) ou uma regra recursiva (construa a partir do termo anterior). O crescimento geométrico eventualmente ultrapassa o aritmético.