Transformations of Functions · Transformações de Funções
| English | Português |
|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | tradução |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | dilatação |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | reflexão |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
| range/reɪndʒ/ | range |
Move it, stretch it, flip it
- Learn the shape of one "parent" function, and you get a whole family for free.
- Slide it, stretch it, or flip it, and the equation changes in a predictable way.
- Every transformed graph is just the parent wearing a small edit.
- Master four moves and you can graph thousands of functions by eye.
Mova-a, estique-a, vire-a
- Aprenda o formato de uma única função "parente", e você ganha toda uma família de graça.
- Deslize-a, estique-a ou vire-a, e a equação muda de forma previsível.
- Todo gráfico transformado é apenas a função parente vestindo uma pequena edição.
- Domine quatro movimentos e poderá esboçar milhares de funções de olhos fechados.
Translations: sliding the graph
- A translation 平移 slides the graph without changing its shape.
- Adding outside, $f(x) + k$, shifts it vertically by $k$ (up if positive).
- Replacing $x$ with $(x - h)$ inside shifts it horizontally by $h$.
- Outside changes act on the output (up/down); inside changes act on the input (left/right).
Traduções: deslizando o gráfico
- Uma tradução 平移 desliza o gráfico sem alterar seu formato.
- Adicionar fora, $f(x) + k$, desloca-o verticalmente por $k$ (para cima se positivo).
- Substituir $x$ por $(x - h)$ dentro desloca-o horizontalmente por $h$.
- Mudanças externas agem na saída (cima/baixo); mudanças internas agem na entrada (esquerda/direita).
Adding a constant outside the function, $f(x) + 3$, shifts the graph… · Adicionar uma constante fora da função, $f(x) + 3$, desloca o gráfico…
Adding outside changes the output directly, so every point rises by 3 — a vertical shift up. · Adicionar fora muda a saída diretamente, elevando cada ponto em 3 — um deslocamento vertical para cima.
Dilations and reflections
- A dilation 伸缩 stretches or squashes the graph: $a\,f(x)$ with $a > 1$ stretches it taller.
- A reflection 反射 flips it: $-f(x)$ mirrors across the x-axis; $f(-x)$ mirrors across the y-axis.
- A fraction like $0.5\,f(x)$ squashes the graph toward the x-axis.
- These reshape the graph; translations only move it.
Dilatações e reflexões
- Uma dilatação 伸缩 estica ou achata o gráfico: $a\,f(x)$ com $a > 1$ o estica para mais alto.
- Uma reflexão 反射 o inverte: $-f(x)$ espelha pelo eixo x; $f(-x)$ espelha pelo eixo y.
- Uma fração como $0.5\,f(x)$ achata o gráfico em direção ao eixo x.
- Estas remodelam o gráfico; traduções apenas o movem.
Stretch, flip, and shift a parabola · Estique, vire e desloque uma parábola
y = a·f(b(x − h)) + k
Start from y = x². Make a negative to flip it, make a large to stretch it, and change c to slide it up or down. · Comece com y = x². Adicione um negativo para virá-la, aumente o valor para esticá-la e altere c para deslizá-la para cima ou para baixo.
Multiplying the whole function by $-1$, giving $-f(x)$, produces a ____ across the x-axis. · Multiplicar toda a função por $-1$, resultando em $-f(x)$, produz um ____ através do eixo x.
A negative on the outside flips every output's sign, mirroring the graph across the x-axis. · Um negativo fora inverte o sinal de todas as saídas, espelhando o gráfico através do eixo x.
The master rule
- Every transformation fits one template: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = vertical stretch/flip, $b$ = horizontal stretch/flip, $h$ = horizontal shift, $k$ = vertical shift.
- Read the constants straight out of the rule to know exactly what happened.
- Outside the $f$ ($a$ and $k$) is vertical; inside ($b$ and $h$) is horizontal.
A regra mestra
- Toda transformação cabe em um modelo: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = dilatação/reflexão vertical, $b$ = dilatação/reflexão horizontal, $h$ = deslocamento horizontal, $k$ = deslocamento vertical.
- Leia as constantes direto da regra para saber exatamente o que aconteceu.
- Fora do $f$ ($a$ e $k$) é vertical; dentro ($b$ e $h$) é horizontal.
Replacing $x$ with $(x - 2)$ inside the function shifts the graph… · Substituir $x$ por $(x - 2)$ dentro da função desloca o gráfico…
Horizontal shifts work backwards: $(x-2)$ moves the graph right · correta by 2, not left. Inside changes feel reversed. · Deslocamentos horizontais funcionam ao contrário: $(x-2)$ move o gráfico para a direita em 2, não para a esquerda. Mudanças internas parecem invertidas.
Select all · todos correct statements about transformations. · Selecione todas as afirmações corretas sobre transformações.
A constant inside shifts horizontally, not vertically. The other three are correct. · Uma constante dentro desloca horizontalmente, não verticalmente. As outras três estão corretas.
Match each change to its effect on $y = f(x)$. · Combine cada mudança com seu efeito em $y = f(x)$.
Outside = vertical (shift, reflect, stretch); inside = horizontal (and reversed). · Fora = vertical (deslocamento, reflexão, estiramento); Dentro = horizontal (e invertido).
Effect on domain and range
- Vertical moves (stretch, shift, reflect over x-axis) reshape the range 值域.
- Horizontal moves (shift, stretch, reflect over y-axis) reshape the domain 定义域.
- A vertical shift up by $3$ adds $3$ to every output — the range rises by $3$.
- Key features (vertex, intercepts, asymptotes) move with the graph.
Efeito no domínio e intervalo
- Movimentos verticais (dilatação, deslocamento, reflexão sobre eixo x) remodelam o intervalo 值域.
- Movimentos horizontais (deslocamento, dilatação, reflexão sobre eixo y) remodelam o domínio 定义域.
- Um deslocamento vertical para cima em $3$ adiciona $3$ a cada saída — o intervalo sobe em $3$.
- Recursos-chave (vértice, interseções, assíntotas) movem-se com o gráfico.
A vertical stretch or a vertical shift can change the range of a function. · Um estiramento vertical ou um deslocamento vertical pode alterar o contraintervalo de uma função.
Vertical transformations act on the outputs, so they reshape the range. Horizontal ones act on inputs and affect the domain instead. · Transformações verticais atuam sobre as saídas, remodelando o contraintervalo. Horizontais atuam sobre entradas e afetam o domínio.
Horizontal transformations feel backwards. Inside the function, $(x - 2)$ shifts the graph right (not left), and $f(2x)$ compresses it (not stretches). Inside changes always do the opposite of what the sign suggests.
Transformações horizontais parecem invertidas. Dentro da função, $(x - 2)$ desloca o gráfico para a direita (não esquerda), e $f(2x)$ comprime (não estica). Mudanças internas sempre fazem o oposto do que o sinal sugere.
Describe $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ built from the parent $f(x) = x^2$.
- Inside $(x-1)$ → shift right by 1.
- The $-2$ outside → stretch by 2 and reflect across the x-axis (opens downward).
- The $+4$ outside → shift up by 4, putting the vertex at $(1, 4)$.
Descreva $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ construído a partir da função parente $f(x) = x^2$.
- Dentro $(x-1)$ → desloque para a direita em 1.
- O $-2$ fora → estique em 2 e reflita sobre o eixo x (abre para baixo).
- O $+4$ fora → desloque para cima em 4, colocando o vértice em $(1, 4)$.
Every graph is a parent function transformed by $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: a translation (shift), a dilation (stretch), or a reflection (flip). Outside changes are vertical and reshape the range; inside changes are horizontal, reshape the domain, and run backwards.
Todo gráfico é uma função parente transformada por $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: uma tradução (deslocamento), uma dilatação (alongamento) ou uma reflexão (virada). Mudanças externas são verticais e remodelam o intervalo; mudanças internas são horizontais, remodelam o domínio e funcionam invertidas.