Connecting Linear and Rotational Motion · Conectando Movimento Linear e Rotacional
On a merry-go-round, the edge whips past
- Stand near the centre of a spinning merry-go-round and you drift slowly.
- Stand at the edge and you are whipped around fast — yet everyone shares the same spin.
- The whole platform turns together, so everyone has the same angular velocity.
- But each rider's linear speed depends on how far out they sit.
Em um carrossel, a borda passa voando
- Fique perto do centro de um carrossel girante e você deriva lentamente.
- Fique na borda e será arremessado rapidamente — mas todos compartilham o mesmo giro.
- Toda a plataforma gira junto, então todos têm a mesma velocidade angular.
- Mas a velocidade linear de cada passageiro depende de quão longe eles sentam.
The bridge equations
- Arc length links to angle: $s = r\theta$.
- Linear speed links to angular speed: $v = r\omega$.
- Tangential acceleration links to angular acceleration: $a_t = r\alpha$.
- In every case, multiply the angular quantity by the radius $r$.
As equações da ponte
- Comprimento de arco liga-se ao ângulo: $s = r\theta$.
- Velocidade linear liga-se à velocidade angular: $v = r\omega$.
- Aceleração tangencial liga-se à aceleração angular: $a_t = r\alpha$.
- Em todos os casos, multiplique a quantidade angular pelo raio $r$.
Radius sets the speed · O raio define a velocidade
Change the radius and see how the arc length (and so the linear speed) scales with r. · Mude o raio e veja como o comprimento do arco (e assim a velocidade linear) escala com r.
A point is $0.3\ \text{m}$ from a wheel's axis, spinning at $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its linear speed, in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Um ponto está $0.3\ \text{m}$ do eixo de uma roda, girando a $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Qual é sua velocidade linear, em $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
The arc length swept is $s = r\_\_$ (fill in the angular quantity). · O comprimento de arco varrido é $s = r\_\_$ (preencha a quantidade angular).
$s = r\theta$ — radius times the angle in radians. · $s = r\theta$ — raio vezes o ângulo em radianos.
Select all · todos correct linear–rotational bridge equations. · Selecione todas as equações corretas da ponte entre linear e rotacional.
Each links an angular quantity to a linear one by multiplying by $r$. $v = \omega/r$ is wrong. · Cada uma liga uma quantidade angular a uma linear multiplicando por $r$. $v = \omega/r$ está errado.
Farther out means faster
- Because $v = r\omega$, a larger radius gives a larger linear speed for the same spin.
- The rim of a wheel moves faster than a point near the hub.
- This is why a long lever tip, a fan blade edge, or the outer horse on a carousel moves quickest.
- Same $\omega$ everywhere on the object; different $v$ at different radii.
Mais longe significa mais rápido
- Por causa de $v = r\omega$, um raio maior dá uma velocidade linear maior para o mesmo giro.
- A borda de uma roda move-se mais rápido que um ponto próximo ao cubo.
- É por isso que a ponta de uma alavanca longa, a borda de uma hélice ou o cavalo externo num carrossel movem-se mais rápido.
- Mesma $\omega$ em toda a objeto; diferente $v$ em diferentes raios.
On a rigid spinning disk, how do a rim point and a point near the hub compare? · Em um disco rígido giratório, como se comparam um ponto na borda e um ponto próximo ao centro?
All points share $\omega$; the rim has a larger radius, so $v = r\omega$ is larger there. · Todos os pontos compartilham $\omega$; a borda tem raio maior, então $v = r\omega$ é maior lá.
For the same wheel above, what is the linear speed at $0.6\ \text{m}$ from the axis, in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Para a mesma roda acima, qual é a velocidade linear em $0.6\ \text{m}$ do eixo, em $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — double the radius, double the speed. · $v = r\omega = 0.6 \times 10 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — dobrar o raio dobra a velocidade.
Rolling without slipping
- When a wheel rolls without slipping, its centre moves at $v = r\omega$.
- The contact point is momentarily at rest; the top moves at $2v$.
- This neat condition ties a wheel's spinning to its travelling.
- We will use it again for rolling energy in the next topic.
Rolamento sem deslizamento
- Quando uma roda rolam sem deslizamento, seu centro move-se a $v = r\omega$.
- O ponto de contato está momentaneamente parado; o topo move-se a $2v$.
- Essa condição elegante liga o giro de uma roda à sua viagem.
- Usaremos isso novamente para energia de rolagem no próximo tópico.
A wheel rolling without slipping has its centre moving at $v = r\omega$. · Uma roda rolando sem deslizar tem seu centro movendo-se a $v = r\omega$.
Rolling without slipping ties travel to spin exactly by $v = r\omega$. · Rolamento sem deslizar relaciona deslocamento à rotação exatamente através de $v = r\omega$.
Every point on a rigid spinning object shares the same $\omega$, but not the same $v$. Do not assume the edge and the centre move at the same linear speed — the edge is much faster because its radius is larger ($v = r\omega$).
Todo ponto em um objeto rígido girante compartilha a mesma $\omega$, mas não a mesma $v$. Não assuma que a borda e o centro movem-se à mesma velocidade linear — a borda é muito mais rápida porque seu raio é maior ($v = r\omega$).
A point sits $0.3\ \text{m}$ from the axis of a wheel turning at $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
A point at $0.6\ \text{m}$ would move at $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — twice as fast, for the same spin.
Um ponto fica $0.3\ \text{m}$ do eixo de uma roda girando a $\omega = 10\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- $v = r\omega = 0.3 \times 10 = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Um ponto em $0.6\ \text{m}$ mover-se-ia a $6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — duas vezes mais rápido, para o mesmo giro.
Linear and angular motion are linked by the radius: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Every point on a rigid body shares the same $\omega$, but points farther from the axis have larger $v$. A wheel rolling without slipping obeys $v = r\omega$.
Movimento linear e angular são ligados pelo raio: $s = r\theta$, $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$. Todo ponto em um corpo rígido compartilha a mesma $\omega$, mas pontos mais longe do eixo têm maiores $v$. Uma roda rolando sem deslizamento obedece $v = r\omega$.