Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · Definindo Coordenadas Polares e Diferenciando na Forma Polar
| English | Português |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | Cartesiana |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | Coordenadas polares |
Locating points by angle and distance
- Cartesian coordinates use "right $x$, up $y$." Polar coordinates 极坐标 use "angle and distance."
- A point is $(r,\theta)$: $r$ is how far from the origin, $\theta$ is the angle from the positive $x$-axis.
- Circles and spirals that are ugly in $x,y$ become simple in polar form.
- Curves are written $r=f(\theta)$ — radius as a function of angle.
Localizando pontos por ângulo e distância
- Coordenadas cartesianas usam "direita $x$, cima $y$." Coordenadas polares 极坐标 usam "ângulo e distância.",
- Um ponto é $(r,\theta)$: $r$ é quão longe da origem, $\theta$ é o ângulo a partir do eixo $x$ positivo.
- Círculos e espirais que são feios em $x,y$ tornam-se simples na forma polar.
- Curvas são escritas $r=f(\theta)$ — raio como função do ângulo.
Converting polar ⇄ Cartesian
- Polar to Cartesian 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartesian to polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- These come straight from right-triangle trig on the point.
- Switch whichever way makes the problem easier.
Convertendo polar ⇄ Cartesiano
- Polar para Cartesiano 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartesiano para polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ e $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- Estas vêm diretamente da trigonometria do triângulo retângulo no ponto.
- Alterne de um lado para o outro conforme tornar o problema mais fácil.
Sine and cosine build polar · Seno e cosseno constroem polar
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — polar coordinates are built from these two trig functions of the angle. · $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — as coordenadas polares são construídas a partir dessas duas funções trigonométricas do ângulo.
The conversion from polar to Cartesian is... · A conversão de polar para cartesiana é...
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
To convert Cartesian to polar, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$. · Para converter cartesiano para polar, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
A polar curve is secretly parametric
- Treat $r=f(\theta)$ as a parametric curve with $\theta$ as the parameter:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ and $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Now all the parametric machinery applies — including the slope $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- So "differentiating in polar" just means parametric differentiation with these $x,y$.
Uma curva polar é secretamente paramétrica
- Trate $r=f(\theta)$ como uma curva paramétrica com $\theta$ como parâmetro:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ e $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Agora toda a maquinaria paramétrica se aplica — incluindo a inclinação $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- Então "diferenciar em polar" significa simplesmente diferenciação paramétrica com esses $x,y$.
Convert $(2,\tfrac{\pi}{3})$: find the $x$-coordinate. · Converta $(2,\tfrac{\pi}{3})$: encontre a coordenada $x$.
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
A polar curve $r=f(\theta)$ can be treated as a parametric curve with parameter... · Uma curva polar $r=f(\theta)$ pode ser tratada como uma curva paramétrica com parâmetro...
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ with parameter $\theta$. · $x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ com parâmetro $\theta$.
Finding the slope $\tfrac{dy}{dx}$
- Compute $\tfrac{dx}{d\theta}$ and $\tfrac{dy}{d\theta}$ from the product/chain rule on $f(\theta)\cos\theta$ and $f(\theta)\sin\theta$.
- Then $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — the ordinary parametric slope.
- Warning: $\tfrac{dy}{dx}$ is not $\tfrac{dr}{d\theta}$; the slope needs the full $x,y$ derivatives.
- The parameter is $\theta$, so differentiate the $x,y$ expressions with respect to $\theta$.
Encontrando a inclinação $\tfrac{dy}{dx}$
- Calcule $\tfrac{dx}{d\theta}$ e $\tfrac{dy}{d\theta}$ a partir da regra do produto/cadeia em $f(\theta)\cos\theta$ e $f(\theta)\sin\theta$.
- Então $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — a inclinação paramétrica ordinária.
- Atenção: $\tfrac{dy}{dx}$ não é $\tfrac{dr}{d\theta}$; a inclinação precisa das derivações completas $x,y$.
- O parâmetro é $\theta$, então diferencie as expressões $x,y$ em relação a $\theta$.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ of a polar curve equals $\tfrac{dr}{d\theta}$. · A inclinação $\tfrac{dy}{dx}$ de uma curva polar é igual a $\tfrac{dr}{d\theta}$.
Slope is $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, using $x,y$ derivatives. · A inclinação é $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, usando derivadas $x,y$.
The polar coordinates $(r,\theta)$ and · e $(r,\theta+2\pi)$ describe the same point. · As coordenadas polares $(r,\theta)$ e $(r,\theta+2\pi)$ descrevem o mesmo ponto.
Adding a full turn returns to the same point. · Adicionar uma volta completa retorna ao mesmo ponto.
The slope of a polar curve is $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, not $\dfrac{dr}{d\theta}$. You must convert to $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ first and differentiate those (product rule!) with respect to $\theta$. And a point's polar coordinates aren't unique — $(r,\theta)$ and $(r,\theta+2\pi)$ are the same point.
A inclinação de uma curva polar é $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, não $\dfrac{dr}{d\theta}$. Você deve converter para $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ primeiro e diferenciar essas (regra do produto!) em relação a $\theta$. E as coordenadas polares de um ponto não são únicas — $(r,\theta)$ e $(r,\theta+2\pi)$ são o mesmo ponto.
Convert the polar point $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ to Cartesian.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- So the point is $\big(1,\sqrt3\big)$.
Converta o ponto polar $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ para cartesiano.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- Então o ponto é $\big(1,\sqrt3\big)$.
Polar coordinates $(r,\theta)$ give a point by distance and angle. Convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (and back via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — not $\frac{dr}{d\theta}$.
Coordenadas polares $(r,\theta)$ dão um ponto por distância e ângulo. Converta com $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (e de volta via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). Uma curva polar $r=f(\theta)$ é uma curva paramétrica em $\theta$, então sua inclinação é $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — não $\frac{dr}{d\theta}$.