Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · Definindo e Diferenciando Funções Vetoriais
| English | Português |
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| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | função vetorial |
Packaging motion into a single arrow
- A parametric curve gives $x(t)$ and $y(t)$ separately. Bundle them into one object: a vector-valued function 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ is the position vector — an arrow from the origin to the moving point.
- It describes planar motion compactly, tracking both coordinates at once.
- Everything from parametric curves reappears here, in vector form.
Empacotando movimento em uma única seta
- Uma curva paramétrica fornece $x(t)$ e $y(t)$ separadamente. Agrupe-os em um único objeto: uma função vetorial 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ é o vetor posição — uma seta da origem até o ponto móvel.
- Ela descreve o movimento plano de forma compacta, rastreando ambas as coordenadas ao mesmo tempo.
- Tudo o que vem de curvas paramétricas reaparece aqui, na forma vetorial.
A path traced by r(t) · Um caminho traçado por r(t)
y = ax² + bx
The position vector $\mathbf{r}(t)$ points to the moving particle; its derivative (component-wise) is the velocity vector. · O vetor posição $\mathbf{r}(t)$ aponta para a partícula em movimento; sua derivada (componente a componente) é o vetor velocidade.
Differentiate component by component
- To differentiate a vector-valued function, just differentiate each component separately:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- No new rules — the derivative of a vector is the vector of the derivatives.
- $\mathbf{r}'(t)$ is the velocity vector, pointing in the direction of motion.
Diferencie componente por componente
- Para diferenciar uma função vetorial, basta diferenciar cada componente separadamente:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- Sem novas regras — a derivada de um vetor é o vetor das derivadas.
- $\mathbf{r}'(t)$ é o vetor velocidade, apontando na direção do movimento.
To differentiate $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, you... · Para diferenciar $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, você...
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
Velocity and acceleration vectors
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — the velocity vector.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — the acceleration vector.
- Each is found by differentiating the components again.
- The velocity vector is tangent to the path; its length is the speed.
Vetores velocidade e aceleração
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — o vetor velocidade.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — o vetor aceleração.
- Cada um é encontrado diferenciando os componentes novamente.
- O vetor velocidade é tangente à trajetória; seu comprimento é a velocidade escalar.
For · A favor $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, the velocity $\mathbf{v}(t)=$ · Para $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, a velocidade $\mathbf{v}(t)=$
Differentiate each component. · Diferencie cada componente.
The acceleration vector is... · O vetor aceleração é...
Differentiate position twice: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$. · Diferencie a posição duas vezes: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
Speed is the magnitude of velocity
- Speed is not a vector — it's the magnitude $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- That's the same speed integrand as parametric arc length.
- So velocity carries direction and size; speed is just the size.
- Differentiate to go position → velocity → acceleration, component by component.
Velocidade é a magnitude da velocidade
- Velocidade não é um vetor — é a magnitude $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- É a mesma velocidade integranda do comprimento de arco paramétrico.
- Assim, a velocidade carrega direção e tamanho; a velocidade é apenas o tamanho.
- Derive para ir de posição → velocidade → aceleração, componente por componente.
For · A favor $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, find the speed $|\mathbf{v}(0)|$. · Para $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, encontre a velocidade escalar $|\mathbf{v}(0)|$.
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Speed is a vector, the same as velocity. · Velocidade escalar é um vetor, o mesmo que velocidade.
Speed is the scalar magnitude $|\mathbf{v}|$. · A velocidade escalar é a magnitude $|\mathbf{v}|$.
Speed equals the ____ of the velocity vector. · A velocidade escalar é igual à ____ do vetor velocidade.
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
Differentiate a vector component by component — don't try to differentiate the "whole vector" as one messy expression. And keep velocity (a vector) distinct from speed (its magnitude, a scalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, never just $x'+y'$.
Diferencie um vetor componente por componente — não tente diferenciar o "vetor inteiro" como uma expressão confusa. E mantenha a velocidade (um vetor) distinta da velocidade (sua magnitude, um escalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, nunca apenas $x'+y'$.
For $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, find $\mathbf{v}(t)$ and the speed at $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- At $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Speed $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Para $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, encontre $\mathbf{v}(t)$ e a velocidade em $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- Em $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Velocidade $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
A vector-valued function $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ describes planar motion. Differentiate it component by component: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (velocity), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (acceleration). Speed is the magnitude $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — a scalar, distinct from the velocity vector.
Uma função vetorial $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ descreve movimento plano. Diferencie-a componente por componente: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (velocidade), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (aceleração). Velocidade é a magnitude $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — um escalar, distinto do vetor velocidade.