Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · Encontrando Soluções Particulares Usando Condições Iniciais e Separação de Variáveis
| English | Português |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condição inicial |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solução particular |
Pinning down the one true curve
- The general solution is a family with a constant $C$. Reality wants one curve.
- An initial condition 初始条件 — a known point $\big(x_0,y_0\big)$ — selects that single member.
- Solve the equation generally, then use the point to find $C$.
- The result is the particular solution 特解 for that situation.
Fixando a única curva verdadeira
- A solução geral é uma família com uma constante $C$. A realidade quer uma curva.
- Uma condição inicial 初始条件 — um ponto conhecido $\big(x_0,y_0\big)$ — seleciona esse único membro.
- Resolva a equação geralmente, depois use o ponto para encontrar $C$.
- O resultado é a solução particular 特解 para essa situação.
The single curve chosen by an initial condition is the ____ solution. · A única curva escolhida por uma condição inicial é a ____ solução.
One member of the general family. · Um membro da família geral.
The full procedure
- 1. Separate the variables and integrate both sides (with $+C$) — the general solution.
- 2. Substitute the initial condition $\big(x_0,y_0\big)$ to solve for $C$.
- 3. Put that $C$ back in and simplify.
- 4. If asked, solve explicitly for $y$.
O procedimento completo
- 1. Separe as variáveis e integre ambos os lados (com $+C$) — a solução geral.
- 2. Substitua a condição inicial $\big(x_0,y_0\big)$ para resolver $C$.
- 3. Coloque esse $C$ de volta e simplifique.
- 4. Se solicitado, resolva explicitamente para $y$.
The initial point picks one curve · O ponto inicial escolhe uma curva
The general solution is a whole family; the initial condition $y(x_0)=y_0$ selects the single curve through that point. · A solução geral é uma família inteira; a condição inicial $y(x_0)=y_0$ seleciona a única curva que passa por esse ponto.
You apply the initial condition to find $C$... · Você aplica a condição inicial para encontrar $C$...
Get the general solution first, then use the point for $C$. · Obtenha a solução geral primeiro, então use o ponto para $C$.
Order the steps for a particular solution. · Ordene os passos para uma solução particular.
Separate, integrate, apply the point, simplify. · Separe, integre, aplique o ponto, simplifique.
A worked particular solution
- Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=3$.
- General solution (from last lesson): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Apply the point: $3 = A\,e^{0}=A$, so $A=3$.
- Particular solution: $y=3\,e^{x^2/2}$.
Uma solução particular exemplificada
- Resolva $\dfrac{dy}{dx}=xy$ com $y(0)=3$.
- Solução geral (da última lição): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Aplique o ponto: $3 = A\,e^{0}=A$, então $A=3$.
- Solução particular: $y=3\,e^{x^2/2}$.
For · A favor $y=x^2+C$ with $y(1)=5$, find $C$. · Para $y=x^2+C$ com $y(1)=5$, encontre $C$.
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
The particular solution is $y=x^2+4$. Find $y(3)$. · A solução particular é $y=x^2+4$. Encontre $y(3)$.
$3^2+4=13$.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=3$ (general $y=Ae^{x^2/2}$), the particular solution is... · Para $\dfrac{dy}{dx}=xy$ com $y(0)=3$ (geral $y=Ae^{x^2/2}$), a solução particular é...
$y(0)=A=3$, so $y=3e^{x^2/2}$. · $y(0)=A=3$, logo $y=3e^{x^2/2}$.
Watch the domain
- Solving for $y$ may involve $\ln$, roots, or reciprocals — mind where the solution is valid.
- The particular solution usually lives on an interval containing $x_0$, not necessarily all real $x$.
- A sign or an absolute value may need resolving using the given point (e.g. $y_0>0$ picks the $+$ branch).
- State the domain when the algebra restricts it.
Cuidado com o domínio
- Resolver para $y$ pode envolver $\ln$, raízes ou inversos — atenção onde a solução é válida.
- A solução particular geralmente vive em um intervalo contendo $x_0$, nem necessariamente todos os reais $x$.
- Um sinal ou valor absoluto pode precisar ser resolvido usando o ponto dado (ex. $y_0>0$ escolhe o ramo de $+$).
- Declare o domínio quando a álgebra o restringir.
Apply the initial condition after integrating, to find $C$ — not before. And use the point to resolve any sign/branch ambiguity: if $\ln|y|=\dots$ and $y_0>0$, drop the absolute value as $y>0$. Substituting the point too early (like in separation of variables' warning) loses the general family.
Aplique a condição inicial depois de integrar, para encontrar $C$ — não antes. E use o ponto para resolver qualquer ambiguidade de sinal/ramo: se $\ln|y|=\dots$ e $y_0>0$, descarte o valor absoluto como $y>0$. Substituir o ponto cedo demais (como no aviso de separação de variáveis) perde a família geral.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=2x$ with $y(1)=5$.
- General solution: $y=x^2+C$.
- Apply $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Particular solution: $y=x^2+4$.
Resolva $\dfrac{dy}{dx}=2x$ com $y(1)=5$.
- Solução geral: $y=x^2+C$.
- Aplique $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Solução particular: $y=x^2+4$.
A particular solution is the one member of the general family fixed by an initial condition. Solve generally (integrate, keep $+C$), substitute the point $\big(x_0,y_0\big)$ to find $C$, and simplify. Use the point to settle any sign/branch and note the valid domain.
Uma solução particular é o único membro da família geral fixado por uma condição inicial. Resolva geralmente (integre, mantenha $+C$), substitua o ponto $\big(x_0,y_0\big)$ para encontrar $C$, e simplifique. Use o ponto para resolver qualquer sinal/ramo e note o domínio válido.