Approximating Solutions Using Euler's Method · Aproximando Soluções Usando o Método de Euler
| English | Português |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | método de Euler |
| step size/step saɪz/ | tamanho do passo |
Walking a solution one small step at a time
- Not every differential equation can be solved with a formula — but you can still approximate the solution numerically.
- Euler's method 欧拉法 follows the slope field in tiny straight steps from a starting point.
- At each point, use the differential equation to get the slope, then step forward along it.
- Repeat, and you trace an approximate solution curve.
Percorrer uma solução um pequeno passo de cada vez
- Nem toda equação diferencial pode ser resolvida com uma fórmula — mas você ainda pode aproximar numericamente a solução.
- Método de Euler 欧拉法 segue o campo de斜率 em pequenos passos retos a partir de um ponto inicial.
- Em cada ponto, use a equação diferencial para obter a inclinação, depois avance ao longo dela.
- Repita, e você traçará uma curva de solução aproximada.
The update rule
- Given $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ and a start $(x_0,y_0)$, take a fixed step size 步长 $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- The new $y$ = old $y$ + (slope there) × (step $h$).
- It's "current value plus slope times step" — a tangent-line jump.
A regra de atualização
- Dado $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ e um início $(x_0,y_0)$, dê um tamanho de passo 步长 fixo $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- O novo $y$ = antigo $y$ + (inclinação ali) × (passo $h$).
- É "valor atual mais inclinação vezes passo" — um salto de linha tangente.
Stepping along the slope field · Andando ao longo do campo de inclinações
Euler's method takes short straight steps along the slope field — smaller steps hug the true curve better. · O método de Euler dá pequenos passos retos ao longo do campo de inclinações — passos menores seguem melhor a curva verdadeira.
Euler's update rule is $y_{n+1}=$ · A regra de atualização de Euler é $y_{n+1}=$
Old $y$ plus slope times step. · Antigo $y$ mais inclinação vezes passo.
The fixed increment $h$ used at each Euler step is called the ____ size. · O incremento fixo $h$ usado em cada passo de Euler é chamado de ____ tamanho.
$x$ advances by the step size $h$ each iteration. · $x$ avança pelo tamanho do passo $h$ a cada iteração.
Marching through a table
- Organize the work in a table: at each row, read $(x_n,y_n)$, compute the slope $f(x_n,y_n)$, then get $y_{n+1}$.
- Advance $x$ by $h$ each row and repeat until you reach the target $x$.
- Each step is just arithmetic; the differential equation supplies the slope.
- After a few rows you have an approximate $y$ at the target.
Marchando através de uma tabela
- Organize o trabalho em uma tabela: em cada linha, leia $(x_n,y_n)$, calcule a inclinação $f(x_n,y_n)$, depois obtenha $y_{n+1}$.
- Avance $x$ em $h$ a cada linha e repita até atingir o alvo $x$.
- Cada passo é apenas aritmética; a equação diferencial fornece a inclinação.
- Após algumas linhas, você tem uma aproximação de $y$ no alvo.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: the slope at $(0,1)$ is $1$. Find $y_1$. · Para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: a inclinação em $(0,1)$ é $1$. Encontre $y_1$.
$1+0.5(1)=1.5$.
Continuing ($y_1=1.5$ at $x=0.5$, slope $=2$), find $y(1)\approx y_2$. · Continuando ($y_1=1.5$ em $x=0.5$, inclinação $=2$), encontre $y(1)\approx y_2$.
$1.5+0.5(2)=2.5$.
Accuracy and step size
- Euler's method is only an approximation — it follows straight tangents, so it drifts from the true curve.
- A smaller step size $h$ gives a more accurate estimate (but more steps).
- On a concave-up curve Euler tends to underestimate; concave-down, overestimate.
- More steps, less error — the classic accuracy trade-off.
Precisão e tamanho do passo
- O método de Euler é apenas uma aproximação — ele segue tangentes retas, então desvia da curva verdadeira.
- Um menor tamanho de passo $h$ dá uma estimativa mais precisa (mas mais passos).
- Em uma curva cóncava para cima Euler tende a subestimar; côncava para baixo, superestimar.
- Mais passos, menos erro — o clássico trade-off de precisão.
Using a smaller step size $h$ generally makes Euler's estimate... · Usar um tamanho de passo menor $h$ geralmente torna a estimativa de Euler...
Smaller steps drift less from the true curve. · Passos menores desviam menos da curva verdadeira.
You must recompute the slope at each new point, not reuse the initial slope. · Você deve recalcular a inclinação em cada novo ponto, não reutilizar a inclinação inicial.
The slope $f(x_n,y_n)$ changes each step. · A inclinação $f(x_n,y_n)$ muda a cada passo.
Use the slope at the current point $(x_n,y_n)$ for each step, not a fixed slope. And each step updates both $x$ (by $h$) and $y$ (by $h\cdot f$). A common error is reusing the initial slope for every step — the slope must be recomputed at each new point.
Use a inclinação no ponto atual $(x_n,y_n)$ para cada passo, não uma inclinação fixa. E cada passo atualiza ambos $x$ (em $h$) e $y$ (em $h\cdot f$). Um erro comum é reutilizar a inclinação inicial para todos os passos — a inclinação deve ser recalculada em cada novo ponto.
Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $h=0.5$.
- Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- So $y(1)\approx 2.5$.
Aproxime $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, com passo $h=0.5$.
- Passo 1: inclinação em $(0,1)$ é $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Passo 2: inclinação em $(0.5,1.5)$ é $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- Então $y(1)\approx 2.5$.
Euler's method approximates a differential equation's solution by stepping along tangents: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ with fixed step size $h$, recomputing the slope at each point. It's approximate (straight steps drift from the curve); a smaller $h$ improves accuracy.
Método de Euler aproxima a solução de uma equação diferencial dando passos ao longo de tangentes: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ com tamanho de passo fixo $h$, recalculando a inclinação em cada ponto. É aproximativo (passos retos desviam da curva); um menor $h$ melhora a precisão.