Integrando Usando Frações Parciais Lineares
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| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | Frações parciais |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | fator linear |
Divida uma fração difícil em fáceis
- Algumas funções racionais não podem ser integradas diretamente, mas separadas tornam-se logs simples.
- Frações parciais 部分分式 reescreve uma fração como uma soma de frações menores.
- Cada peça tem um único fator linear 一次因式 em seu denominador — fácil de integrar como um $\ln$.
- É o inverso de somar frações sobre um denominador comum.
Configure a decomposição
- Comece com uma função racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ para constantes $A,B$ a serem encontradas.
- Cada fator linear distinto $(x-r)$ recebe seu próprio termo $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (O grau do numerador deve ser menor que o do denominador — divida primeiro se não for.)
Uma função racional para decompor
y = a / (x − b)
Uma fração sobre $(x-1)(x+2)$ tem duas assíntotas verticais; frações parciais a separam em duas peças simples $\ln$.
A forma de frações parciais de $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ é...
Uma constante sobre cada fator linear distinto.
Se o grau do numerador não for menor que o do denominador, você deve dividir primeiro.
Frações parciais precisam de uma fração própria.
Esta lição trata de denominadores que fatoram em fatores lineares ____ distintos.
Fatores lineares distintos $(x-r)$.
Resolva as constantes
- Multiplique ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações.
- Depois encontre $A,B$ igualando coeficientes ou substituindo as raízes (um atalho rápido).
- Para $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: em $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; em $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Agora a integral é uma soma de peças simples.
Para $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, encontre $A$ (insira $x=1$).
Em $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
Integre as peças
- Cada $\dfrac{A}{x-r}$ integra para $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- Então uma integral racional bagunçada torna-se uma combinação de logaritmos.
- Combine ou deixe os logs conforme a resposta prefere.
Cada peça de fração parcial $\dfrac{A}{x-r}$ integra para...
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (com $A=1$, $B=-1$) é igual a...
Integre $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Frações parciais exigem que o grau do numerador seja menor que o do denominador — se não for, faça divisão longa primeiro. E exige que o denominador realmente fatore em peças lineares; um fator repetido $(x-r)^2$ ou um quadrático irredutível precisa de termos extras (além deste caso lineares distintos da lição). Cada fator distinto recebe exatamente uma constante.
Avalie $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompor: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. Em $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; em $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Frações parciais decompõe uma função racional com fatores lineares distintos em uma soma $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; encontre as constantes (igualando coeficientes ou substituindo raízes), depois integre cada termo para obter um $\ln$. Exige que o grau do numerador seja $<$ o grau do denominador — divida primeiro caso contrário.