Integrating Using Integration by Parts · Integrando Usando Integração por Partes
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| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | integração por partes |
The product rule, run backward
- The chain rule reversed gave u-substitution. What reverses the product rule? Integration by parts 分部积分法.
- It handles integrals of a product that substitution can't crack — like $\int x e^x\,dx$.
- The trick: trade a hard integral for an easier one by moving the derivative from one factor to the other.
- It's the BC workhorse for products of unlike functions.
A regra do produto, revertida
- A reversão da regra da cadeia deu a substituição. O que reverte a regra do produto? Integração por partes 分部积分法.
- Ela trata integrais de um produto que a substituição não consegue resolver — como $\int x e^x\,dx$.
- O truque: troque uma integral difícil por uma mais fácil movendo a derivada de um fator para o outro.
- É o motor do BC para produtos de funções distintas.
Integration by parts is the reverse of which rule? · A integração por partes é o inverso de qual regra?
It undoes the product rule. · Ela desfaz a regra do produto.
The formula
- From the product rule, integrated:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- You pick part of the integrand to be $u$ (which you'll differentiate) and the rest to be $dv$ (which you'll integrate).
- Then $du=u'\,dx$ and $v=\int dv$, and you assemble $uv-\int v\,du$.
A fórmula
- Da regra do produto, integrada:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- Você escolhe parte do integrando para ser $u$ (que você vai derivatar) e o resto para ser $dv$ (que você vai integrar).
- Então $du=u'\,dx$ e $v=\int dv$, e você monta $uv-\int v\,du$.
A product to integrate · Um produto para integrar
y = a·e^{bx}
Integration by parts trades $\int x e^x$ for the easier $\int e^x$ — moving the derivative off the algebraic factor. · A integração por partes troca $\int x e^x$ pela $\int e^x$ mais fácil — movendo a derivada fora do fator algébrico.
The integration by parts formula is $\int u\,dv=$ · A fórmula de integração por partes é $\int u\,dv=$
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (mind the minus). · $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (atenção ao sinal de menos).
Choosing $u$ and $dv$ wisely
- Aim to make the new integral $\int v\,du$ simpler than the original.
- A helpful priority for $u$ (LIATE): Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential — pick $u$ from earliest on this list.
- So in $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algebraic) and $dv=e^x\,dx$.
- A good choice collapses the problem; a bad choice makes it worse.
Escolhendo $u$ e $dv$ sabiamente
- Tente tornar a nova integral $\int v\,du$ mais simples que a original.
- Uma prioridade útil para $u$ (LIATE): Logaritmo, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial — escolha $u$ da mais antiga nesta lista.
- Então em $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algébrica) e $dv=e^x\,dx$.
- Uma boa escolha colapsa o problema; uma má escolha o piora.
For · A favor $\int x e^x\,dx$, a good choice is $u=$ · Para $\int x e^x\,dx$, uma boa escolha é $u=$
By LIATE, the algebraic $x$ is $u$; $dv=e^x\,dx$. · Pela LIATE, a parte algébrica $x$ é $u$; $dv=e^x\,dx$.
A common mnemonic for choosing $u$ is ____ (L-I-A-T-E). · Um mnemônico comum para escolher $u$ é ____ (L-I-A-T-E).
Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential. · Logaritmo, Trig Inversa, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial.
You should choose $u$ and · e $dv$ so the new integral $\int v\,du$ is simpler than the original. · Você deve escolher $u$ e $dv$ para que a nova integral $\int v\,du$ seja mais simples que a original.
That is the whole point of the choice. · Esse é o ponto inteiro da escolha.
Sometimes repeat, sometimes loop
- If $\int v\,du$ is still a product, apply integration by parts again.
- For $\int x^2 e^x\,dx$ you'd use it twice, peeling one power of $x$ each time.
- A few integrals (like $\int e^x\sin x\,dx$) loop back to the original — solve algebraically for it.
- Keep $u,du,v,dv$ neatly labeled to avoid sign errors.
Às vezes repita, às vezes faça loop
- Se $\int v\,du$ ainda for um produto, aplique integração por partes novamente.
- Para $\int x^2 e^x\,dx$ você usaria duas vezes, descascando um expoente de $x$ cada vez.
- Algumas integrais (como $\int e^x\sin x\,dx$) fazem loop de volta à original — resolva algebricamente por ela.
- Mantenha $u,du,v,dv$ bem rotulado para evitar erros de sinal.
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
Choose $u$ and $dv$ so that $\int v\,du$ is simpler — the wrong pick can make it harder or send you in circles. Don't forget the minus sign: the formula is $uv-\int v\,du$. And $v$ is any antiderivative of $dv$ (drop its $+C$ until the very end of a definite/indefinite result).
Escolha $u$ e $dv$ para que $\int v\,du$ seja mais simples — a escolha errada pode torná-la mais difícil ou fazê-lo dar voltas. Não esqueça o sinal de menos: a fórmula é $uv-\int v\,du$. E $v$ é qualquer primitiva de $dv$ (descarte seu $+C$ apenas no final de um resultado definido/indeterminado).
Evaluate $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Let $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Then $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Avalie $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Seja $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Então $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Integration by parts reverses the product rule: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Choose $u$ (to differentiate) and $dv$ (to integrate) — via LIATE — so that $\int v\,du$ is simpler. Mind the minus sign, and apply it repeatedly (or solve the loop) when needed.
Integração por partes reverte a regra do produto: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Escolha $u$ (para derivatar) e $dv$ (para integrar) — via LIATE — para que $\int v\,du$ seja mais simples. Cuidado com o sinal de menos, e aplique repetidamente (ou resolva o loop) quando necessário.