Using the Second Derivative Test to Determine Extrema · Usando o Teste da Derivada Segunda para Determinar Extremos
| English | Português |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | Teste da Derivada Segunda |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | inconclusivo |
Classify an extremum with one number
- The First Derivative Test reads sign changes; the Second Derivative Test 二阶导数判别法 is often quicker.
- At a critical point where $f'(c)=0$, just check the sign of $f''(c)$.
- Concave up at a flat spot → a valley; concave down at a flat spot → a peak.
- One evaluation of $f''$ can settle it — no sign chart needed.
Classifique um extremo com um número
- O Teste da Primeira Derivada lê mudanças de sinal; o Teste da Segunda Derivada 二阶导数判别法 é muitas vezes mais rápido.
- Em um ponto crítico onde $f'(c)=0$, basta verificar o sinal de $f''(c)$.
- Côncavo para cima num ponto plano → um vale; côncavo para baixo num ponto plano → um pico.
- Uma avaliação de $f''$ pode resolver isso — sem necessidade de quadro de sinais.
$f''(c) > 0$: a minimum
- If $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$, then $f$ has a relative minimum at $c$.
- Concave up (a cup) with a horizontal tangent = the bottom of a valley.
- Intuition: the slope is zero and increasing, so the curve turns upward.
$f''(c) > 0$: um mínimo
- Se $f'(c)=0$ e $f''(c)>0$, então $f$ tem um mínimo relativo em $c$.
- Côncavo para cima (uma taça) com tangente horizontal = o fundo de um vale.
- Intuição: a inclinação é zero e crescendo, então a curva vira para cima.
Cup at the min, cap at the max · Taça no mínimo, cúpula no máximo
y = ax³ + cx
At the local min the curve is concave up ($f''>0$); at the local max it is concave down ($f''<0$). · No mínimo local a curva é côncava para cima ($f''>0$); no máximo local ela é côncava para baixo ($f''<0$).
If $f'(c)=0$ and · e $f''(c)>0$, then $c$ is a... · Se $f'(c)=0$ e $f''(c)>0$, então $c$ é um...
Concave up at a flat spot = minimum. · Côncavo para cima num ponto plano = mínimo.
$f''(c) < 0$: a maximum
- If $f'(c)=0$ and $f''(c)<0$, then $f$ has a relative maximum at $c$.
- Concave down (a cap) with a horizontal tangent = the top of a hill.
- The slope is zero and decreasing, so the curve turns downward.
$f''(c) < 0$: um máximo
- Se $f'(c)=0$ e $f''(c)<0$, então $f$ tem um máximo relativo em $c$.
- Côncavo para baixo (uma tampa) com tangente horizontal = o topo de uma colina.
- A inclinação é zero e decrescendo, então a curva vira para baixo.
If $f'(c)=0$ and · e $f''(c)<0$, then $c$ is a relative ____. · Se $f'(c)=0$ e $f''(c)<0$, então $c$ é um relativo ____.
Concave down at a flat spot = maximum. · Côncavo para baixo num ponto plano = máximo.
When it says nothing
- If $f''(c)=0$, the test is inconclusive 无法判定 — it gives no answer.
- The point could be a max, a min, or neither (like $y=x^3$ at $0$, or $y=x^4$ at $0$).
- Fall back on the First Derivative Test (sign change of $f'$) in that case.
- So: use the Second Derivative Test first if $f''$ is easy; switch to the first test if $f''(c)=0$.
Quando ele não diz nada
- Se $f''(c)=0$, o teste é inconclusivo 无法判定 — ele não dá resposta nenhuma.
- O ponto pode ser um máximo, um mínimo ou nenhum (como $y=x^3$ em $0$, ou $y=x^4$ em $0$).
- Recorra ao Teste da Primeira Derivada (mudança de sinal de $f'$) nesse caso.
- Então: use o Teste da Segunda Derivada primeiro se $f''$ for fácil; alterne para o primeiro teste se $f''(c)=0$.
If $f''(c)=0$, the Second Derivative Test proves there is no extremum at $c$. · Se $f''(c)=0$, o Teste da Derivada Segunda prova que não há extremo em $c$.
It is inconclusive — use the First Derivative Test instead. · É inconclusivo — use o Teste da Derivada Primeira em vez disso.
For · A favor $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), classify $x=-1$. · Para $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), classifique $x=-1$.
$f''(-1)=-6<0$ → relative maximum. · $f''(-1)=-6<0$ → máximo relativo.
The Second Derivative Test is applied at a critical point where... · O Teste da Derivada Segunda é aplicado num ponto crítico onde...
It classifies critical points where the tangent is horizontal, $f'(c)=0$. · Classifica pontos críticos onde a tangente é horizontal, $f'(c)=0$.
When should you fall back on the First Derivative Test? · Quando você deve recorrer ao Teste da Derivada Primeira?
The first test always works; the second is just often faster. · O primeiro teste sempre funciona; o segundo é apenas muitas vezes mais rápido.
The Second Derivative Test needs $f'(c)=0$ first — it classifies critical points where the tangent is horizontal. And $f''(c)=0$ is inconclusive, not "neither": you must then use the First Derivative Test. Don't conclude "no extremum" just because $f''(c)=0$.
O Teste da Segunda Derivada requer $f'(c)=0$ primeiro — ele classifica pontos críticos onde a tangente é horizontal. E $f''(c)=0$ é inconclusivo, não "nem um nem outro": você deve então usar o Teste da Primeira Derivada. Não conclua "nenhum extremo" apenas porque $f''(c)=0$.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ using $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ at $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- At $x=1$: $f''(1)=6>0$ → relative minimum.
- At $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → relative maximum.
Classifique os pontos críticos de $f(x)=x^3-3x$ usando $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ em $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- Em $x=1$: $f''(1)=6>0$ → mínimo relativo.
- Em $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → máximo relativo.
The Second Derivative Test: at a critical point with $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ gives a relative minimum and $f''(c)<0$ a relative maximum. If $f''(c)=0$ the test is inconclusive — fall back on the First Derivative Test.
O Teste da Segunda Derivada: em um ponto crítico com $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ dá um mínimo relativo e $f''(c)<0$ um máximo relativo. Se $f''(c)=0$ o teste é inconclusivo — recorra ao Teste da Primeira Derivada.