Derivative Rules: Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple · Regras de Derivada: Constante, Soma, Diferença e Múltiplo Constante
| English | Português |
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| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
Four rules that break a polynomial apart
- The Power Rule handles one term. To differentiate a whole polynomial 多项式 you need to combine terms.
- Four simple rules let you do it term by term, in your head.
- They cover constants, sums, differences, and coefficients.
- Together with the Power Rule, they differentiate any polynomial in one pass.
Quatro regras que separam um polinômio
- A Regra da Potência trata um termo. Para diferenciar um polinômio 多项式 inteiro, você precisa combinar termos.
- Quatro regras simples permitem fazer termo a termo, mentalmente.
- Elas cobrem constantes, somas, diferenças e coeficientes.
- Juntas com a Regra da Potência, elas diferenciam qualquer polinômio em uma passada.
Constant, sum, and difference
- Constant rule: the derivative of a constant is $0$. A flat line has zero slope: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Sum rule: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — differentiate each piece and add.
- Difference rule: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — same, with a minus.
- So you can split a long expression and handle each term separately.
Constante, soma e diferença
- Regra da constante: a derivada de uma constante é $0$. Uma linha plana tem inclinação zero: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Regra da soma: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — diferencie cada peça e some.
- Regra da diferença: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — o mesmo, com um sinal de menos.
- Então você pode dividir uma expressão longa e tratar cada termo separadamente.
What is $\dfrac{d}{dx}[12]$? · O que é $\dfrac{d}{dx}[12]$?
The derivative of any constant is $0$. · A derivada de qualquer constante é $0$.
By the sum rule, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____. · Pela regra da soma, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
Differentiate each piece and add. · Diferencie cada parte e some.
Constant multiple
- Constant multiple rule: a coefficient just rides along: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- The number out front is untouched by differentiation; only the $x$-part changes.
- Combine with the sum rule: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
Multiplicação por constante
- Regra do múltiplo constante: um coeficiente apenas acompanha: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- O número à frente permanece intocado pela diferenciação; apenas a parte $x$-muda.
- Combine com a regra da soma: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
A cubic and its changing slope · Um cúbico e sua inclinação variável
y = ax³ + bx
The derivative of a polynomial is another polynomial — drag the coefficients and picture where the slope is positive or negative. · A derivada de um polinômio é outro polinômio — arraste os coeficientes e visualize onde a inclinação é positiva ou negativa.
If $f(x)=5x^3$, find $f'(2)$. · Se $f(x)=5x^3$, encontre $f'(2)$.
$f'(x)=15x^2$, so $f'(2)=15\cdot4=60$. · $f'(x)=15x^2$, logo $f'(2)=15\cdot4=60$.
For · A favor $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, select all · todos correct term derivatives. · Para $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, selecione todos os derivadas corretas dos termos.
The constant $-8$ differentiates to $0$, not $-8$. · A constante $-8$ diferencia para $0$, não para $-8$.
Differentiate a polynomial in one pass
- Read the polynomial term by term, applying the Power Rule and coefficients as you go.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Notice the constant $-9$ vanishes, and the $7x$ becomes just $7$.
- With practice you write the derivative directly, no scratch work.
Diferencie um polinômio em uma passada
- Leia o polinômio termo a termo, aplicando a Regra da Potência e coeficientes conforme for.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Note que a constante $-9$ desaparece, e o $7x$ torna-se apenas $7$.
- Com prática, você escreve a derivada diretamente, sem rascunho.
Differentiate $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$. · Diferencie $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
Term by term: $12x^3$, $-4x$, $+7$, and the constant $\to 0$. · Termo por termo: $12x^3$, $-4x$, $+7$, e a constante $\to 0$.
The sum rule lets you compute $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ as $f'\cdot g'$. · A regra da soma permite calcular $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ como $f'\cdot g'$.
Sum/difference rules split across $+$ and · e $-$ only; a product needs the Product Rule. · As regras de soma/diferença aplicam-se separadamente a $+$ e $-$ apenas; um produto exige a Regra do Produto.
There is no "product rule shortcut" hiding here: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ is not $f'\cdot g'$. The sum/difference rules split across $+$ and $-$ only. Products and quotients need their own rules (lessons 2.8–2.9). Also, the derivative of a constant is $0$, not the constant itself.
Não há "atalho de regra do produto" aqui: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ não é $f'\cdot g'$. As regras de soma/diferença dividem entre $+$ e $-$ apenas. Produtos e quocientes precisam de suas próprias regras (aulas 2.8–2.9). Além disso, a derivada de uma constante é $0$, não a própria constante.
Differentiate $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Rewrite: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Term by term: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, and $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Diferencie $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Reescreva: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Termo a termo: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, e $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Four combining rules: constant $\to 0$; sum/difference differentiate term by term; constant multiple keeps the coefficient out front ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). With the Power Rule these differentiate any polynomial in a single pass — but they split only across $+$ and $-$, never across a product.
Quatro regras de combinação: constante $\to 0$; soma/diferença diferenciar termo a termo; multiplicação por constante mantém o coeficiente na frente ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). Com a Regra da Potência, estas diferenciam qualquer polinômio em uma única passagem — mas se aplicam apenas através de $+$ e $-$, nunca através de um produto.