Finding General Solutions Using Separation of Variables · Encontrando Soluções Gerais Usando Separação de Variáveis
| English | Português |
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| separable/ˈsepərəbl/ | separável |
Get the $x$'s and $y$'s on opposite sides
- To actually solve a differential equation (not just sketch it), we integrate — but first we sort the variables.
- A differential equation is separable 可分离的 if you can write it so one side has only $y$ and the other only $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ is the tell-tale form: a product of an $x$-part and a $y$-part.
- Then each side can be integrated on its own.
Obtenha as $x$'s e $y$'s em lados opostos
- Para realmente resolver uma equação diferencial (não apenas esboçá-la), integramos — mas primeiro organizamos as variáveis.
- Uma equação diferencial é separável 可分离的 se puder escrevê-la de modo que um lado tenha apenas $y$ e o outro apenas $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ é a forma característica: um produto de uma parte de $x$ e uma parte de $y$.
- Então cada lado pode ser integrado separadamente.
Which equation is separable? · Qual equação é separável?
$xy$ factors as ($x$-part)$\times$($y$-part); a sum does not. · $xy$ fatora como (parte-$x$)$\times$(parte-$y$); uma soma não.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ is not separable because you cannot split a ____. · $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ não é separável porque você não pode dividir um ____.
Separation needs a product, not a sum. · Separação precisa de um produto, não de uma soma.
Separate the variables
- Treat $\dfrac{dy}{dx}$ as a ratio of differentials and move each variable to its own side.
- From $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: divide by $h(y)$ and multiply by $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Now each side involves only one variable and its differential — ready to integrate.
Separe as variáveis
- Trate $\dfrac{dy}{dx}$ como uma razão de diferenciais e mova cada variável para seu próprio lado.
- De $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: divida por $h(y)$ e multiplique por $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Agora cada lado envolve apenas uma variável e seu diferencial — pronto para integrar.
Separating $\dfrac{dy}{dx}=xy$ gives... · Separando $\dfrac{dy}{dx}=xy$ resulta em...
Divide by $y$, multiply by $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$. · Divida por $y$, multiplique por $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Integrate both sides
- Integrate the left in $y$ and the right in $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Add a single constant $+C$ (one is enough — combine both sides' constants).
- Then solve for $y$ if you can, to get the general solution.
- The result is a family of functions with the constant $C$.
Integre ambos os lados
- Integre a esquerda em $y$ e a direita em $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Adicione uma única constante $+C$ (uma é suficiente — combine as constantes de ambos os lados).
- Depois resolva para $y$ se puder, para obter a solução geral.
- O resultado é uma família de funções com a constante $C$.
The general solution is a family · A solução geral é uma família
Solving $\tfrac{dy}{dx}=ay$ gives $y=Ce^{ax}$ — one curve per constant, all fitting the same field. · Resolver $\tfrac{dy}{dx}=ay$ resulta em $y=Ce^{ax}$ — uma curva por constante, todas cabendo no mesmo campo.
Integrating $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ gives... · Integrando $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ resulta em...
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; add $+C$. · $\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; adicione $+C$.
Keep the $+C$ (and solve for $y$)
- The constant of integration is what makes this a family — never drop it.
- Often you'll exponentiate or rearrange to isolate $y$; the $C$ transforms but stays.
- Leaving the answer as an implicit relation is fine if $y$ can't be cleanly isolated.
- A later initial condition (lesson 7.7) will nail down $C$.
Mantenha a $+C$ (e resolva para $y$)
- A constante de integração é o que torna isso uma família — nunca a descarte.
- Muitas vezes você exponentiará ou rearranjará para isolar $y$; a $C$ transforma mas permanece.
- Deixar a resposta como uma relação implícita é aceitável se $y$ não puder ser isolado limpa mente.
- Uma condição inicial posterior (lição 7.7) definirá $C$.
You should include the constant $+C$ when solving a differential equation by separation. · Você deve incluir a constante $+C$ ao resolver uma equação diferencial por separação.
The · A $+C$ gives the general (family of) solutions. · A $+C$ fornece as soluções gerais (família).
The general solution of $\dfrac{dy}{dx}=xy$ is... · A solução geral de $\dfrac{dy}{dx}=xy$ é...
Exponentiate $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ to get $y=A e^{x^2/2}$. · Exponencie $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ para obter $y=A e^{x^2/2}$.
Separation works only if the equation factors as (function of $x$) $\times$ (function of $y$). Something like $\frac{dy}{dx}=x+y$ is not separable — you can't split a sum. And don't forget the $+C$ after integrating: without it you have one curve, not the general family.
Separação funciona apenas se a equação fatorar como (função de $x$) $\times$ (função de $y$). Algo como $\frac{dy}{dx}=x+y$ não é separável — você não pode dividir uma soma. E não esqueça a $+C$ após integrar: sem ela você tem uma curva, não a família geral.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (general solution).
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponentiate: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (writing $A=e^C$). General solution: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Resolva $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (solução geral).
- Separe: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integre: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponentie: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (escrevendo $A=e^C$). Solução geral: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Separation of variables solves a separable equation $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: rearrange to $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integrate both sides (one $+C$), and solve for $y$ to get the general solution. It only works when the equation factors into an $x$-part times a $y$-part.
Separação de variáveis resolve uma equação separável $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: reorganize para $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integre ambos os lados (uma $+C$), e resolva para $y$ para obter a solução geral. Só funciona quando a equação fatora em uma parte de $x$ multiplicada por uma parte de $y$.