Integrating Functions Using Long Division and Completing the Square · Integrando Funções Usando Divisão Longa e Completar o Quadrado
| English | Português |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | completando o quadrado |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | divisão longa de polinômios |
Rewrite first, then integrate
- Some rational functions don't match any basic antiderivative — until you rewrite them.
- Two algebra tools prepare a stubborn integrand: long division and completing the square.
- Neither is calculus; both just reshape the fraction into a friendlier form.
- Then a basic rule or a known integral finishes the job.
Reescreva primeiro, depois integre
- Algumas funções racionais não correspondem a nenhuma primitiva básica — até você as reescrever.
- Duas ferramentas algébricas preparam um integrando teimoso: divisão longa e completar quadrados.
- Nenhuma delas é cálculo; ambas apenas remodelam a fração em uma forma mais amigável.
- Depois, uma regra básica ou uma integral conhecida conclui o trabalho.
Long division for "top-heavy" fractions
- If the numerator's degree is $\ge$ the denominator's, the fraction is improper.
- Use polynomial long division 多项式长除法 to split it into a polynomial plus a proper remainder.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — now each piece integrates easily.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
Divisão longa para frações "top-heavy"
- Se o grau do numerador é $\ge$ o grau do denominador, a fração é imprópria.
- Use divisão polinomial longa 多项式长除法 para separá-la em um polinômio mais um resto próprio.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — agora cada parte integra facilmente.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
A rational curve to rewrite · Uma curva racional para reescrever
y = a / (x − b)
An improper fraction like $\tfrac{x^2}{x+1}$ becomes a line plus a small remainder — each piece integrates easily. · Uma fração imprópria como $\tfrac{x^2}{x+1}$ torna-se uma linha mais um pequeno resto — cada parte integra facilmente.
Use polynomial long division when the numerator's degree is... · Use a divisão longa de polinômios quando o grau do numerador for...
An improper fraction (top-heavy) calls for division. · Uma fração imprópria (numerator maior que o denominador) exige divisão.
Long division gives $\dfrac{x^2}{x+1}=$ · A divisão longa resulta em $\dfrac{x^2}{x+1}=$
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, so the quotient is $x-1$ remainder $1$. · $x^2=(x+1)(x-1)+1$, logo o quociente é $x-1$ com resto $1$.
Completing the square for inverse-trig forms
- A denominator like $x^2+4x+5$ hides a perfect square: complete the square 配方法 to $(x+2)^2+1$.
- That $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ shape matches the arctangent antiderivative.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Completing the square turns a messy quadratic denominator into the clean $u^2+a^2$ pattern.
Completar quadrados para formas trigonométricas inversas
- Um denominador como $x^2+4x+5$ esconde um quadrado perfeito: complete os quadrados 配方法 para $(x+2)^2+1$.
- Essa forma de $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ corresponde à antiderivada da arcotangente.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Completar quadrados transforma um denominador quadrático confuso no padrão limpo de $u^2+a^2$.
Completing the square, $x^2+4x+5=$ · Completando o quadrado, $x^2+4x+5=$
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, so $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$. · $(x+2)^2=x^2+4x+4$, logo $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
The form $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ integrates to an ____ function. · A forma $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ integra para uma função ____.
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
Recognize the signal
- Numerator degree $\ge$ denominator degree → reach for long division first.
- An irreducible quadratic denominator (no real roots) → try completing the square toward arctan.
- These are setup moves; the actual integration is a basic rule or u-sub afterward.
- Spotting which rewrite to use is half the battle.
Reconhecer o sinal
- Grau do numerador $\ge$ grau do denominador → recorra primeiro à divisão longa.
- Um denominador quadrático irredutível (sem raízes reais) → tente completar quadrados em direção à arcotangente.
- Estes são movimentos de configuração; a integração real é uma regra básica ou substituição u depois.
- Identificar qual reescrita usar é metade da batalha.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Divide first, then integrate $x-1+\tfrac1{x+1}$. · Divida primeiro, depois integre $x-1+\tfrac1{x+1}$.
Match the signal to the rewrite: select all · todos true pairings. · Combine o sinal à reescrita: selecione todas as associações verdadeiras.
Long division is for improper fractions only; both are pre-integration rewrites. · A divisão longa é apenas para frações impróprias; ambas são reescritas pré-integração.
Do the long division only when the fraction is improper (numerator degree $\ge$ denominator's) — dividing a proper fraction gets you nowhere. And after completing the square, keep the constant right: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, not $(x+2)^2+5$. A wrong constant breaks the arctan match.
Faça a divisão longa apenas quando a fração for imprópria (grau do numerador $\ge$ do denominador) — dividir uma fração própria não leva a lugar nenhum. E após completar quadrados, mantenha a constante certa: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, não $(x+2)^2+5$. Uma constante errada quebra a correspondência com a arcotangente.
Integrate $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Long division: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Integrate term by term: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Each rewritten piece uses a basic antiderivative rule.)
Integre $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- Divisão longa: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Integre termo a termo: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Cada parte reescrita usa uma regra básica de antiderivada.)
When a rational integrand fits no basic rule, rewrite it first: use polynomial long division on an improper fraction (numerator degree $\ge$ denominator's), or complete the square in an irreducible quadratic denominator to reach an arctangent form. Then finish with a basic antiderivative.
Quando um integrando racional não se encaixa em nenhuma regra básica, reescreva-o primeiro: use divisão polinomial longa em uma fração imprópria (grau do numerador $\ge$ do denominador), ou complete quadrados em um denominador quadrático irredutível para alcançar uma forma de arcotangente. Depois termine com uma antiderivada básica.