Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals: Basic Rules and Notation · Encontrando Primitivas e Integrais Indefinidas: Regras Básicas e Notação
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| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral indefinida |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integração |
Running differentiation backward
- FTC Part 2 needs an antiderivative — so let's learn to find them.
- An antiderivative of $f$ is any function whose derivative is $f$; the whole family is the indefinite integral 不定积分.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (no limits) means "the general antiderivative of $f$."
- Every derivative rule, read backward, becomes an antiderivative rule.
Executando a diferenciação reversamente
- TFC Parte 2 precisa de uma primitiva — então vamos aprender a encontrá-las.
- Uma primitiva de $f$ é qualquer função cuja derivada é $f$; toda a família é a integral indeterminada 不定积分.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (sem limites) significa "a primitiva geral de $f$".
- Toda regra de derivada, lida reversamente, torna-se uma regra de primitiva.
The power rule for integration
- Reverse the Power Rule: add one to the exponent, then divide by the new exponent.
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$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Check: differentiating $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ gives $x^n$. ✓
- (The case $n=-1$ is special: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
A regra da potência para integração
- Reverta a Regra da Potência: some um ao expoente, depois divida pelo novo expoente.
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$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Verifique: diferenciar $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ dá $x^n$. ✓
- (O caso $n=-1$ é especial: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
What is $\displaystyle\int x^3\,dx$? · O que é $\displaystyle\int x^3\,dx$?
Add one to the exponent, divide by it: $\tfrac{x^4}{4}+C$. · Adicione um ao expoente, divida por ele: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
The power rule fails for $n=-1$. What is $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$? · A regra da potência falha para $n=-1$. Qual é $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$?
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
Never forget $+C$
- Since the derivative of a constant is $0$, any constant can be added — so the antiderivative is a family.
- Always append the constant of integration 积分常数 $+C$ to an indefinite integral.
- Without limits there's no way to pin down which constant, so $+C$ stays.
- (In a definite integral the $+C$ cancels — that's the difference.)
Nunca esqueça $+C$
- Como a derivada de uma constante é $0$, qualquer constante pode ser adicionada — então a primitiva é uma família.
- Sempre adicione a constante de integração 积分常数 $+C$ a uma integral indeterminada.
- Sem limites, não há como definir qual constante, então $+C$ permanece.
- (Em uma integral definida a $+C$ cancela — essa é a diferença.)
A family shifted by +C · Uma família deslocada por +C
y = ax³ + d
All antiderivatives of $f$ differ only by a vertical shift $+C$ — same slope everywhere. · Todas as primitivas de $f$ diferem apenas por um deslocamento vertical $+C$ — mesma inclinação em todos os lugares.
An indefinite integral should include the constant of integration $+C$. · Uma integral indefinida deve incluir a constante de integração $+C$.
The antiderivative is a family; $+C$ is part of the answer. · A primitiva é uma família; $+C$ faz parte da resposta.
The standard antiderivatives
- Reverse the elementary derivatives you know:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Combine with linearity to integrate any polynomial or sum term by term.
As primitivas padrão
- Reverta as derivadas elementares que você conhece:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Combine com linearidade para integrar qualquer polinômio ou soma termo a termo.
What is $\displaystyle\int \sin x\,dx$? · O que é $\displaystyle\int \sin x\,dx$?
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (mind the minus). · $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (atenção ao sinal de menos).
Find $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$. · Encontre $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
Reverse power rule term by term, plus $C$. · Regra reversa da potência termo a termo, mais $C$.
Select all · todos correct antiderivatives. · Selecione todas as primitivas corretas.
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positive); the last is wrong. · $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positivo); a última está errada.
Two staples: always add $+C$ to an indefinite integral (it's part of the answer), and the power rule fails for $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ is $\ln|x|+C$, not $\frac{x^0}{0}$. Also mind the sign on $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (a minus, mirroring $\cos$'s derivative).
Dois pilares: sempre adicione $+C$ a uma integral indeterminada (é parte da resposta), e a regra da potência falha para $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ é $\ln|x|+C$, não $\frac{x^0}{0}$. Além disso, cuidado com o sinal em $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (um menos, espelhando a derivada de $\cos$).
Find $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Term by term (reverse power rule): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Check by differentiating: $6x^2-4x+5$. ✓
Encontre $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Termo a termo (reverso da regra da potência): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Verifique diferenciando: $6x^2-4x+5$. ✓
An indefinite integral $\int f\,dx$ is the general antiderivative of $f$. The power rule for integration: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ for $n\neq-1$ (and $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Always add the constant of integration $+C$, and integrate sums term by term.
Uma integral indeterminada $\int f\,dx$ é a primitiva geral de $f$. A regra da potência para integração: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ para $n\neq-1$ (e $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Sempre adicione a constante de integração $+C$, e integre somas termo a termo.