The Quotient Rule · A Regra do Quociente
| English | Português |
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| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | Regra do Quociente |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | expressão racional |
Dividing functions needs care
- Just as products need the Product Rule, quotients need the Quotient Rule 商法则.
- You can't differentiate top and bottom separately and divide — that's wrong.
- The rule handles a rational expression 有理式 $\dfrac{f}{g}$ of two functions.
- Its numerator has a subtraction, so order and signs matter a lot.
Dividir funções exige cuidado
- Assim como produtos precisam da Regra do Produto, quocientes precisam da Regra do Quociente 商法则.
- Você não pode diferenciar numerador e denominador separadamente e dividir — isso está errado.
- A regra lida com uma expressão racional 有理式 $\dfrac{f}{g}$ de duas funções.
- Seu numerador tem uma subtração, então ordem e sinais importam muito.
The rule
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$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Top: "derivative of the top times the bottom, minus the top times derivative of the bottom."
- Bottom: the original denominator, squared.
- A memory hook: "low d-high minus high d-low, over low-squared."
A regra
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$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Numerador: "derivada do topo vezes o fundo, menos o topo vezes a derivada do fundo."
- Denominador: o denominador original, elevado ao quadrado.
- Um gancho mnemônico: "baixo d-topo menos topo d-baixo, sobre baixo-ao-quadrado."
The Quotient Rule numerator for $\dfrac{f}{g}$ is... · O numerador da Regra do Quociente para $\dfrac{f}{g}$ é...
Numerator is $f'g-fg'$, over $g^2$. · Numerador é $f'g-fg'$, sobre $g^2$.
In the Quotient Rule, the denominator of the answer is $g$ ____ (to what power?). · Na Regra do Quociente, o denominador da resposta é $g$ ____ (a que potência?).
The denominator is $g^2$. · O denominador é $g^2$.
Select all · todos true statements about the Quotient Rule. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre a Regra do Quociente.
$g^2\ge0$ always, so it never flips the sign. · $g^2\ge0$ sempre, logo nunca inverte o sinal.
Order is everything
- The numerator is $f'g - fg'$, not $fg' - f'g$ — swapping them flips every sign.
- Always write the $f'g$ term first; that fixes the order and prevents sign slips.
- The denominator $g^2$ is always positive, so it never changes the sign of the answer.
- Keep the pieces labeled: $f,f',g,g'$ before you assemble.
Ordem é tudo
- O numerador é $f'g - fg'$, não $fg' - f'g$ — inverter inverte todos os sinais.
- Sempre escreva o termo $f'g$ primeiro; isso fixa a ordem e previne trocas de sinal.
- O denominador $g^2$ é sempre positivo, então nunca altera o sinal da resposta.
- Mantenha as peças rotuladas: $f,f',g,g'$ antes de montar.
A rational curve to differentiate · Uma curva racional para diferenciar
y = a / (x − b)
A quotient like $\dfrac{x^2}{x+1}$ has a slope the Quotient Rule computes — note the vertical asymptote where the denominator is zero. · Um quociente como $\dfrac{x^2}{x+1}$ tem uma inclinação calculada pela Regra do Quociente — note a assíntota vertical onde o denominador é zero.
Writing the numerator as $fg' - f'g$ (reversed) gives the same answer. · Escrever o numerador como $fg' - f'g$ (invertido) resulta na mesma resposta.
Reversing the order negates the whole numerator — a sign error. · Inverter a ordem inverte todo o numerador — erro de sinal.
Differentiate $y=\dfrac{x}{x+1}$. · Diferencie $y=\dfrac{x}{x+1}$.
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
Sometimes a product is easier
- A quotient $\dfrac{f}{g}$ can be rewritten as a product $f\cdot g^{-1}$ and done with the Product + Power rules.
- For simple denominators this can be quicker: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- But for genuine two-function quotients like $\dfrac{\sin x}{x}$, the Quotient Rule is the clean path.
- Choose whichever avoids the messier algebra.
Às vezes um produto é mais fácil
- Um quociente $\dfrac{f}{g}$ pode ser reescrito como um produto $f\cdot g^{-1}$ e resolvido com as Regras do Produto + Potência.
- Para denominadores simples, isso pode ser mais rápido: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- Mas para quocientes genuínos de duas funções como $\dfrac{\sin x}{x}$, a Regra do Quociente é o caminho mais limpo.
- Escolha o que evitar a álgebra mais complicada.
The quotient $\dfrac{x}{x^2}$ is fastest differentiated by... · O quociente $\dfrac{x}{x^2}$ é diferenciado mais rapidamente por...
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — simpler than the Quotient Rule here. · $\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — mais simples que a Regra do Quociente aqui.
The Quotient Rule numerator is $f'g - fg'$ — the order and the minus sign are the whole difficulty. Writing $fg' - f'g$ (reversed) negates your answer. And do not forget to square the denominator. Both mistakes are extremely common under time pressure.
O numerador da Regra do Quociente é $f'g - fg'$ — a ordem e o sinal de menos são toda a dificuldade. Escrever $fg' - f'g$ (invertido) anula sua resposta. E não se esqueça de elevar o denominador ao quadrado. Ambos os erros são extremamente comuns sob pressão de tempo.
Differentiate $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
Diferencie $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
The Quotient Rule: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "low d-high minus high d-low, over low-squared." Keep the numerator's order ($f'g$ first) and square the denominator. For simple cases, rewriting as a product $f g^{-1}$ can be easier.
A Regra do Quociente: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — "baixo d-topo menos topo d-baixo, sobre baixo-ao-quadrado." Mantenha a ordem do numerador ($f'g$ primeiro) e eleve o denominador ao quadrado. Para casos simples, reescrever como um produto $f g^{-1}$ pode ser mais fácil.