Stellar radii · Raios estelares
| English | Português |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | temperatura |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | lei do deslocamento de Wien |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | lei de Stefan-Boltzmann |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | corpo negro |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | comprimento de onda |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | constante de Stefan-Boltzmann |
No telescope can see a star as a disc
- Every star except the Sun is a point in even the largest telescope. Its disc is far too small to resolve.
- Yet the radius of a star thousands of light years away is a routine calculation, and it is done from two things you can measure: its colour and its brightness.
- Colour gives the surface temperature. Brightness and distance give the total power. Those two together give the size.
- This lesson is Wien's displacement law 维恩位移定律 and the Stefan-Boltzmann law 斯特藩-玻尔兹曼定律, and the three-step chain that joins them.
Nenhum telescópio pode ver uma estrela como um disco
- Todas as estrelas exceto o Sol são um ponto mesmo no maior telescópio. Seu disco é muito pequeno para ser resolvido.
- No entanto, o raio de uma estrela a milhares de anos-luz é um cálculo rotineiro, e é feito a partir de duas coisas que você pode medir: sua cor e seu brilho.
- A cor dá a temperatura superficial. Brilho e distância dão a potência total. Juntos, esses dois dão o tamanho.
- Esta lição é sobre a lei do deslocamento de Wien 维恩位移定律 e a lei de Stefan-Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼定律, e a cadeia de três etapas que as une.
Wien's displacement law
- A hot body radiates a continuous blackbody 黑体 spectrum whose peak sits at a wavelength 波长 set by its temperature 温度:
- The wavelength at which the intensity is a maximum is inversely proportional to the thermodynamic temperature. Say "wavelength of maximum intensity", not just "the wavelength".
- The temperature must be in kelvin, and the law describes the peak of the continuous curve, not the spectral lines.
- Hotter means bluer: a red star near $3000\ \text{K}$ peaks in the infrared, the Sun near $5800\ \text{K}$ peaks around $500\ \text{nm}$, and a blue-white star near $20000\ \text{K}$ peaks in the ultraviolet.
Hotter, taller, and further left
Lei do deslocamento de Wien
- Um corpo quente irradia um espectro contínuo de corpo negro 黑体 cujo pico fica em um comprimento de onda 波长 definido por sua temperatura 温度:
- O comprimento de onda em que a intensidade é máxima é inversamente proporcional à temperatura termodinâmica. Diga "comprimento de onda de intensidade máxima", não apenas "o comprimento de onda".
- A temperatura deve estar em kelvin, e a lei descreve o pico da curva contínua, não as linhas espectrais.
- Mais quente significa mais azul: uma estrela vermelha próxima de $3000\ \text{K}$ tem pico no infravermelho, o Sol próximo de $5800\ \text{K}$ tem pico em torno de $500\ \text{nm}$, e uma estrela azul-branca próxima de $20000\ \text{K}$ tem pico no ultravioleta.
Mais quente, mais alto e mais à esquerda
Hotter stars have their spectral peak (Wien's law) at a ____ wavelength. · Estrelas mais quentes têm seu pico espectral (lei de Wien) em um comprimento de onda ____.
$\lambda_{\max}T = b$, so a higher $T$ means a smaller $\lambda_{\max}$ — toward the blue. · $\lambda_{\max}T = b$, então um $T$ mais alto significa um $\lambda_{\max}$ menor — em direção ao azul.
Which belong in a statement of Wien's displacement law? Select all · todos that apply. · Quais pertencem a uma declaração da lei do deslocamento de Wien? Selecione todas as opções aplicáveis.
It is about the peak of the continuous black-body curve, not the lines. Saying only the wavelength loses the mark; say the wavelength of maximum intensity. · Trata-se do pico da curva contínua de corpo negro, não das linhas. Dizer apenas o comprimento de onda perde o sentido; diga o comprimento de onda da intensidade máxima.
Worked example: taking a star's temperature
- A star's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Find its surface temperature.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Convert nanometres to metres first. The constant is in metre kelvin, so a wavelength in nm gives a temperature out by $10^9$.
- This one measurement is the whole reason a star's colour is useful: colour is temperature.
Exemplo resolvido: obtendo a temperatura de uma estrela
- O espectro de uma estrela tem pico em $500\ \text{nm}$. Encontre sua temperatura superficial.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Converta nanômetros para metros primeiro. A constante está em metro-kelvin, então um comprimento de onda em nm dá uma temperatura fora por $10^9$.
- Essa única medição é toda a razão pela qual a cor de uma estrela é útil: cor é temperatura.
A star's spectrum peaks at $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. What is its surface temperature? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$) · O espectro de uma estrela tem pico em $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. Qual é sua temperatura superficial? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — about the Sun. · $T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — cerca do Sol.
Match each star to where its spectrum peaks. · Combine cada estrela com onde seu espectro tem pico.
Hotter peaks shorter. This one measurement is why a star's colour is useful: colour is temperature. · Picos mais quentes são mais curtos. Essa única medição é por que a cor de uma estrela é útil: cor é temperatura.
The Stefan-Boltzmann law
- Treat the star as a blackbody sphere of radius $r$ at surface temperature $T$:
- $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant 斯特藩-玻尔兹曼常量.
- Two dependences, and they are very different in strength. $L \propto r^2$: twice the radius, four times the luminosity. $L \propto T^4$: twice the temperature, sixteen times the luminosity.
- So a small error in temperature is a large error in luminosity, which is why the peak wavelength must be read carefully.
A lei de Stefan-Boltzmann
- Trate a estrela como uma esfera de corpo negro de raio $r$ à temperatura superficial $T$:
- $\sigma$ é a constante de Stefan-Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼常量.
- Duas dependências, e elas são muito diferentes em intensidade. $L \propto r^2$: o dobro do raio, quatro vezes a luminosidade. $L \propto T^4$: o dobro da temperatura, dezesseis vezes a luminosidade.
- Então um pequeno erro na temperatura resulta num grande erro na luminosidade, razão pela qual o comprimento de onda de pico deve ser lido com cuidado.
A star's luminosity and radius · Luminosidade e raio de uma estrela
L ∝ r²
For a given surface temperature, a star's luminosity grows with the SQUARE of its radius (Stefan's law). · Para uma dada temperatura superficial, a luminosidade de uma estrela cresce com o QUADRADO de seu raio (lei de Stefan).
The Stefan–Boltzmann law gives a star's luminosity as: · A lei de Stefan-Boltzmann dá a luminosidade de uma estrela como:
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — strongly dependent on both radius and temperature. · $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — fortemente dependente tanto do raio quanto da temperatura.
Using $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, which are true? Select all · todos that apply. · Usando $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, quais são verdadeiras? Selecione todas as opções aplicáveis.
L goes as r^2 and T^4. That fourth power is why the peak wavelength must be read carefully and corrected for redshift. · L varia como r^2 e T^4. Esse quarto poder é por que o comprimento de onda do pico deve ser lido com cuidado e corrigido para o desvio para o vermelho.
Worked example: the luminosity of a Sun-like star
- A star has radius $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ and surface temperature $5800\ \text{K}$. Find its luminosity.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Square the radius and raise the temperature to the fourth power. On a calculator, do $T^4$ as its own step and check its magnitude: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
Exemplo resolvido: a luminosidade de uma estrela semelhante ao Sol
- Uma estrela tem raio $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ e temperatura superficial $5800\ \text{K}$. Encontre a sua luminosidade.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Eleve o raio ao quadrado e a temperatura à quarta potência. Na calculadora, faça $T^4$ como um passo separado e verifique a sua magnitude: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
If a star's temperature doubles (same radius), its luminosity multiplies by: · Se a temperatura de uma estrela dobrar (mesmo raio), sua luminosidade multiplica por:
$L \propto T^{4}$, so doubling $T$ gives $2^{4} = 16$ times the luminosity. · $L \propto T^{4}$, então dobrar $T$ resulta em $2^{4} = 16$ vezes a luminosidade.
Same luminosity, opposite stars
- Because $L$ depends on both $r$ and $T$, two completely different stars can have the same luminosity.
- A red giant is cool, so its $T^4$ is small, but it is enormous, and the $r^2$ makes up for it.
- A white dwarf is very hot but tiny: a huge $T^4$ against a minute $r^2$.
- Whenever an answer looks surprising, check it this way. A star $140$ times as luminous as the Sun but only $1.6$ times as hot must be considerably bigger, since $L \propto r^2T^4$.
Mesma luminosidade, estrelas opostas
- Como $L$ depende tanto de $r$ quanto de $T$, duas estrelas completamente diferentes podem ter a mesma luminosidade.
- Uma gigante vermelha é fria, então o seu $T^4$ é pequeno, mas ela é enorme, e o $r^2$ compensa isso.
- Uma anã branca é muito quente, mas minúscula: um enorme $T^4$ contra um minuto $r^2$.
- Sempre que uma resposta parecer surpreendente, verifique-a assim. Uma estrela $140$ vezes mais luminosa que o Sol, mas apenas $1.6$ vezes mais quente, deve ser consideravelmente maior, pois $L \propto r^2T^4$.
Put the three steps for estimating a star's radius in order. · Organize os três passos para estimar o raio de uma estrela.
Each step is one line. Keep full precision of L and T until the end, because T is raised to the fourth power. · Cada passo é uma linha. Mantenha a precisão completa de L e T até o final, pois T é elevado à quarta potência.
Estimating a radius, in three steps
- One. Measure $\lambda_{\text{max}}$ and get $T$ from Wien's law.
- Two. Get $L$, usually from the flux and distance: $L = 4\pi d^2 F$.
- Three. Solve the Stefan-Boltzmann law for the radius:
- Each step is one line. Keep the full precision of $L$ and $T$ until the end, because $T$ is raised to the fourth power and rounding it early is expensive.
Estimando um raio, em três passos
- Um. Meça $\lambda_{\text{max}}$ e obtenha $T$ a partir da lei de Wien.
- Dois. Obtenha $L$, geralmente a partir do fluxo e da distância: $L = 4\pi d^2 F$.
- Três. Resolva a lei de Stefan-Boltzmann para o raio:
- Cada passo é uma linha. Mantenha a precisão completa de $L$ e $T$ até o final, porque $T$ está elevado à quarta potência e arredondá-lo cedo é custoso.
Combining Wien's law and the Stefan–Boltzmann law lets us estimate a star's radius. · Combinar a lei de Wien e a lei de Stefan-Boltzmann nos permite estimar o raio de uma estrela.
Wien gives $T$, the flux and distance give $L$, then $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$. · Wien dá $T$, o fluxo e a distância dão $L$, então $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Sunlight has flux 1370 W/m^2 at 1.50e11 m and the Sun's spectrum peaks at 500 nm. What is the Sun's radius, in units of 1e8 m? · A luz solar possui fluxo 1370 W/m^2 em 1.50e11 m e o espectro do Sol tem pico em 500 nm. Qual é o raio do Sol, em unidades de 1e8 m?
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, then r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m against an accepted 6.96e8 m. Three one-line formulae, no telescope resolution needed. · L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, então r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m contra um valor aceito de 6.96e8 m. Três fórmulas em uma única linha, sem necessidade de resolução telescópica.
Worked example: the radius of the Sun, from scratch
- Sunlight at the Earth has flux $1370\ \text{W/m}^2$ at $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, and the Sun's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Estimate the Sun's radius.
- Luminosity: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Temperature: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Radius: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- The accepted value is $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Three one-line formulae, no telescope resolution required.
Exemplo resolvido: o raio do Sol, do zero
- A luz solar na Terra tem fluxo $1370\ \text{W/m}^2$ a $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, e o espectro do Sol tem pico em $500\ \text{nm}$. Estime o raio do Sol.
- Luminosidade: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Temperatura: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Raio: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- O valor aceito é $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Três fórmulas de uma linha, sem necessidade de resolução de telescópio.
In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ and · e $F = L/(4\pi d^2)$, the lengths $r$ and · e $d$ mean the same thing. · Em $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ e $F = L/(4\pi d^2)$, os comprimentos $r$ e $d$ significam a mesma coisa.
r is the star's own radius; d is its distance from us. Swapping them is the commonest error in this topic, and the two differ by many orders of magnitude. · r é o próprio raio da estrela; d é sua distância até nós. Trocá-los é o erro mais comum neste tópico, e eles diferem em várias ordens de grandeza.
Marks that slip away
- Wien's law is about the wavelength of maximum intensity, and $T$ must be in kelvin.
- Convert $\lambda_{\text{max}}$ to metres; the constant $b$ is in metre kelvin.
- In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ is the star's radius; in $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ is the distance to us. Two different lengths, and swapping them is the commonest error in this topic.
- Keep full precision until the last line, because $T$ is to the fourth power.
- For a receding galaxy, correct the observed peak before using Wien's law, or the temperature comes out too low.
Marcas que escapam
- A lei de Wien refere-se ao comprimento de onda de máxima intensidade, e $T$ deve estar em kelvin.
- Converta $\lambda_{\text{max}}$ para metros; a constante $b$ está em metro kelvin.
- Em $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ é o raio da estrela; em $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ é a distância até nós. Dois comprimentos diferentes, e trocá-los é o erro mais comum neste tópico.
- Mantenha a precisão completa até a última linha, porque $T$ está elevado à quarta potência.
- Para uma galáxia recedente, corrija o pico observado antes de usar a lei de Wien, ou a temperatura sairá baixa demais.
You've got it
- Wien's displacement law: the wavelength of maximum intensity is inversely proportional to the thermodynamic temperature, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, so luminosity goes as the square of the radius and the fourth power of the temperature
- a radius comes in three steps: $\lambda_{\text{max}} \to T$, then $F$ and $d \to L$, then $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- keep $r$ (the star) and $d$ (to us) apart, and hold full precision until the end because of the $T^4$
Entendeu?
- Lei do deslocamento de Wien: o comprimento de onda de máxima intensidade é inversamente proporcional à temperatura termodinâmica, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, então a luminosidade varia com o quadrado do raio e a quarta potência da temperatura
- um raio vem em três passos: $\lambda_{\text{max}} \to T$, depois $F$ e $d \to L$, depois $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- mantenha $r$ (a estrela) e $d$ (até nós) separados, e mantenha a precisão completa até o final devido ao $T^4$