Continuous random variables · Variáveis aleatórias contínuas
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|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variável aleatória contínua |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | função densidade de probabilidade |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | função de distribuição acumulada |
The curve that tells probabilities
- A continuous random variable 连续型随机变量 can take any value in a range — like the exact time a bus arrives, or the precise height of a person.
- Unlike discrete variables, you can't list probabilities for each value. Instead, a probability density function 概率密度函数 (pdf) describes the shape, and probabilities are areas 面积 under the curve.
A curva que diz probabilidades
- Uma variável aleatória contínua 连续型随机变量 pode assumir qualquer valor em um intervalo — como o tempo exato de chegada de um ônibus ou a altura precisa de uma pessoa.
- Diferente das variáveis discretas, você não pode listar probabilidades para cada valor. Em vez disso, uma função de densidade de probabilidade 概率密度函数 (pdf) descreve a forma, e as probabilidades são áreas 面积 sob a curva.
The probability density function
- A continuous random variable can take any value in a range, described by a probability density function $f(x)$:
Worked example. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ for $0 \leq x \leq 4$, zero otherwise. Check: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ is NOT a probability. The value of $f(x)$ at a point can be greater than 1. Only the area under the curve between two points gives a probability.
For a continuous variable, probability is the area under the density f(x)
A função de densidade de probabilidade
- Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor em um intervalo, descrita por uma função de densidade de probabilidade $f(x)$:
Exemplo resolvido. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ para $0 \leq x \leq 4$, zero caso contrário. Verifique: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ NÃO é uma probabilidade. O valor de $f(x)$ em um ponto pode ser maior que 1. Apenas a área sob a curva entre dois pontos fornece uma probabilidade.
Para uma variável contínua, probabilidade é a área sob a densidade f(x)
Area = probability · Área = probabilidade
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability · probabilidade is the area · área under the density curve between two values. · Para uma variável contínua, probabilidade é a área sob a curva de densidade entre dois valores.
A probability density function must satisfy ∫f(x)dx over all x equals what value? · Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer ∫f(x)dx sobre todos os x igual a qual valor?
The total area under a pdf is always 1. · A área total sob uma pdf é sempre 1.
The value of f(x) at a point is the probability that X equals that value. · O valor de f(x) em um ponto é a probabilidade de X ser igual a esse valor.
f(x) is a density, not a probability. Only the area under f gives a probability. f(x) can even exceed 1. · f(x) é uma densidade, não uma probabilidade. Apenas a área sob f dá uma probabilidade. f(x) pode até exceder 1.
For f(x) = x/8 on 0 ≤ x ≤ 4, verify ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. What is the result? · Para f(x) = x/8 em 0 ≤ x ≤ 4, verifique se ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. Qual é o resultado?
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. The total area is 1, confirming it is a valid pdf. · [x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. A área total é 1, confirmando que é uma pdf válida.
Finding probabilities
- A probability is an area under $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Probabilities are areas under f(x); the total area over all x must equal 1.
Encontrando probabilidades
- Uma probabilidade é uma área sob $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
As probabilidades são áreas sob f(x); a área total sobre todos os x deve ser igual a 1.
For a continuous variable, P(a < X < b) is the area under f(x) between a and b. · Para uma variável contínua, P(a < X < b) é a área sob f(x) entre a e b.
Probabilities for a continuous variable are areas under the density function. · Probabilidades para uma variável contínua são áreas sob a função de densidade.
Finding the mean and variance
- The mean is $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- The variance is $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, where $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
Encontrando a média e a variância
- A média é $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- A variância é $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, onde $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
For f(x) = ½x on 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². What is E(X)? (≈, 2 dp) · Para f(x) = ½x em 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². Qual é E(X)? (≈, 2 casas decimais)
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ is the area under $f$ up to $x$. It always increases from 0 to 1.
- Use the density function to find the median and other percentiles.
A função de distribuição acumulada 累积分布函数
- A cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ é a área sob $f$ até $x$. Ela sempre aumenta de 0 a 1.
- Use a função de densidade para encontrar a mediana e outros percentis.
The cumulative distribution function F(x) gives: · A função de distribuição acumulada F(x) fornece:
F(x) = P(X ≤ x) = the area under f up to x. · F(x) = P(X ≤ x) = a área sob f até x.
You've got it
- a pdf has $f(x) \geq 0$ and total area $\int f = 1$
- a probability is the area under $f$ between the limits
- the mean $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$
Entendeu?
- uma pdf tem $f(x) \geq 0$ e área total $\int f = 1$
- uma probabilidade é a área sob $f$ entre os limites
- a média $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$