Sampling and estimation · Amostragem e estimação
| English | Português |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | amostra |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | população |
| stratified/ˈstrætɪfaɪd/ | estratificado |
| systematic/ˌsɪstəˈmætɪk/ | sistemático |
| cluster/ˈklʌstə/ | aglomerado |
| sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição amostral |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | erro padrão |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | Teorema do Limite Central |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | intervalo de confiança |
The poll that predicted the election
- A survey of 1000 people can predict the voting behaviour of 60 million. How?
- Sampling 样本 lets you draw conclusions about a whole population 总体 from a small, carefully chosen subset. The mathematics behind it is the foundation of all statistical inference.
A pesquisa que predisse as eleições
- Uma pesquisa com 1000 pessoas pode prever o comportamento eleitoral de 60 milhões. Como?
- Amostragem 样本 lets you draw conclusions about a whole population 总体 from a small, carefully chosen subset. A matemática por trás disso é a base de toda inferência estatística.
Populations and samples
- A population is the entire group you want to study. A sample is a small group from the population.
- Good sampling needs randomness — every member must have a known chance of being selected.
- Sampling methods: simple random, stratified 分层 (proportional from each subgroup), systematic 系统 (every $k$th member), cluster 整群.
Stratified sampling. A school has 600 boys and 400 girls. A stratified sample of 50: $\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30$ boys and $\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20$ girls.
The sample mean is nearly normal whatever the population shape
Populações e amostras
- Uma população é todo o grupo que você deseja estudar. Uma amostra é um pequeno grupo da população.
- Boa amostragem precisa de aleatoriedade — cada membro deve ter uma chance conhecida de ser selecionado.
- Métodos de amostragem: aleatório simples, estratificado 分层 (proporcional de cada subgrupo), sistemático 系统 (a cada $k$º membro), em conglomerados 整群.
Amostragem estratificada. Uma escola tem 600 meninos e 400 meninas. Uma amostra estratificada de 50: $\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30$ meninos e $\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20$ meninas.
A média amostral é quase normal independentemente da forma da população
The sampling distribution · A distribuição amostral
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
By the Central Limit Theorem, sample means follow a normal curve — narrower for bigger samples. · Pelo Teorema do Limite Central, as médias amostrais seguem uma curva normal — mais estreita para amostras maiores.
A school has 600 boys and 400 girls. A stratified sample of 50 needs how many boys? · Uma escola tem 600 meninos e 400 meninas. Uma amostra estratificada de 50 precisa de quantos meninos?
(600/1000) × 50 = 30 boys. · (600/1000) × 50 = 30 meninos.
The sampling distribution 抽样分布 of the mean
- The sample mean $\bar{X}$ is itself a random variable:
- The standard error 标准误 of the mean is $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — it shrinks as $n$ grows.
Statistics studies a sample to learn about a whole population
A distribuição amostral 抽样分布 da média
- A média amostral $\bar{X}$ é em si uma variável aleatória:
- O erro padrão da média é $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — ele diminui conforme $n$ cresce.
A estatística estuda uma amostra para aprender sobre toda uma população
A population has σ = 8. For a sample of n = 64, what is Var(X̄) = σ²/n? · Uma população tem σ = 8. Para uma amostra de n = 64, qual é Var(X̄) = σ²/n?
Var(X̄) = σ²/n = 64/64 = 1.
A population has σ = 10 and n = 25. The standard error σ/√n = ? · Uma população tem σ = 10 e n = 25. O erro padrão σ/√n = ?
σ/√n = 10/√25 = 10/5 = 2.
Match each sampling idea to its meaning. · Combine cada ideia de amostragem com seu significado.
The CLT makes sample means normal; their spread is σ²/n, giving the confidence interval. · O TLC torna as médias amostrais normais; sua dispersão é σ²/n, dando o intervalo de confiança.
The Central Limit Theorem 中心极限定理
- By the Central Limit Theorem, for a large sample ($n \geq 30$), $\bar{X}$ is approximately normal, whatever the population's shape.
- This is one of the most powerful results in all of mathematics — it lets us use the normal distribution even when the data isn't normal.
CLT applies to the mean, not the data. The Central Limit Theorem says the distribution of $\bar{X}$ becomes normal — not the individual data points. The raw data can have any shape.
A 95% confidence interval 置信区间 reaches 1.96 standard errors each side of the sample mean
O Teorema do Limite Central
- Pelo Teorema do Limite Central, para uma grande amostra ($n \geq 30$), $\bar{X}$ é aproximadamente normal, independentemente da forma da população.
- Este é um dos resultados mais poderosos em toda a matemática — permite-nos usar a distribuição normal mesmo quando os dados não são normais.
TLC aplica-se à média, não aos dados. O Teorema do Limite Central diz que a distribuição de $\bar{X}$ torna-se normal — não os pontos de dados individuais. Os dados brutos podem ter qualquer forma.
Um intervalo de confiança 95% atinge 1.96 desvios padrão em cada lado da média amostral
By the Central Limit Theorem, the sample mean is approximately normal for a large sample, whatever the population shape. · Pelo Teorema do Limite Central, a média amostral é aproximadamente normal para uma grande amostra, independentemente da forma da população.
The CLT makes X̄ approximately normal as the sample size grows. · O TLC torna X̄ aproximadamente normal à medida que o tamanho da amostra cresce.
The Central Limit Theorem says the individual data points become normally distributed for large samples. · O Teorema do Limite Central diz que os pontos de dados individuais tornam-se normalmente distribuídos para grandes amostras.
The CLT applies to the sample mean X̄, not the individual data points. The raw data can have any shape. · O TLC aplica-se à média amostral X̄, não aos pontos de dados individuais. Os dados brutos podem ter qualquer forma.
Confidence intervals
- A confidence interval gives a range that probably contains the true mean.
- For a normal population with known $\sigma$ (or a large sample), a 95% interval is:
- From a random sample find unbiased estimates of the mean and variance ('unbiased' = correct on average), and a confidence interval for a population proportion; random numbers help choose the sample.
Intervalos de confiança
- Um intervalo de confiança fornece uma faixa que provavelmente contém a verdadeira média.
- Para uma população normal com $\sigma$ conhecido (ou uma grande amostra), um intervalo de 95% é:
- De uma amostra aleatória, encontre estimativas não viciadas da média e da variância ('não viciada' = correta em média), e um intervalo de confiança para uma proporção populacional; números aleatórios ajudam a escolher a amostra.
A sample of n = 64 has σ = 8. What is the margin 1.96 × σ/√n for a 95% interval? (2 dp) · Uma amostra de n = 64 tem σ = 8. Qual é a margem 1.96 × σ/√n para um intervalo de 95%? (2 casas decimais)
1.96 × 8/√64 = 1.96 × 8/8 = 1.96.
You've got it
- $E(\bar{X}) = \mu$, $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$; CLT makes $\bar X$ ≈ normal for large $n$
- a 95% confidence interval: $\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- good sampling needs randomness
Entendeu?
- $E(\bar{X}) = \mu$, $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$; TLC faz $\bar X$ ≈ normal para grandes $n$
- um intervalo de confiança de 95%: $\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- boa amostragem precisa de aleatoriedade