Linear combinations of random variables · Combinações lineares de variáveis aleatórias
| English | Português |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | variação |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | combinação linear |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variável aleatória |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformação linear |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independente |
The mathematics of combining
- If you know the mean and variance 方差 of two separate processes, what happens when you add them together?
- Linear combinations 线性组合 let you predict the behaviour of combined random variables 随机变量 — essential for quality control, finance, and engineering.
A matemática de combinar
- Se você conhece a média e a variância 方差 de dois processos separados, o que acontece ao somá-los?
- Combinações lineares 线性组合 permitem prever o comportamento de variáveis aleatórias combinadas — essenciais para controle de qualidade, finanças e engenharia.
Linear combination lab · Laboratório de combinação linear
E(aX + b) = aE(X) + b
Change a scaling factor and see how the expected value scales. · Altere um fator de escala e veja como o valor esperado escala.
Linear transformations 线性变换 of a single variable
- For a single variable changed by a linear rule:
Worked example. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Let $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
The constant $b$ vanishes from variance. Adding a constant shifts the mean but doesn't change the spread. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, not $\text{Var}(X) + 25$.
The Poisson distribution Po(3); its mean and variance both equal lambda
Transformações lineares 线性变换 de uma única variável
- Para uma única variável alterada por uma regra linear:
Exemplo resolvido. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Seja $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
A constante $b$ desaparece da variância. Adicionar uma constante desloca a média, mas não muda a dispersão. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, não $\text{Var}(X) + 25$.
A distribuição de Poisson Po(3); sua média e variância ambas são lambda
X has mean 5. What is E(3X − 1)? · X tem média 5. Qual é E(3X − 1)?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X has variance 4. What is Var(3X − 1)? · X tem variância 4. Qual é Var(3X − 1)?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (the −1 has no effect). · Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (o −1 não tem efeito).
In Var(aX + b), the constant b: · Em Var(aX + b), a constante b:
Adding a constant shifts the data but does not change its spread, so b drops out. · Adicionar uma constante desloca os dados, mas não muda sua dispersão, então b desaparece.
Two independent 独立 variables
- Note: variances always add (even for $X - Y$), because $(-1)^2 = 1$.
Duas variáveis independentes 独立
- Nota: as variâncias sempre se somam (mesmo para $X - Y$), porque $(-1)^2 = 1$.
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ? · X e Y são independentes. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (variances add for independent variables). · Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (variâncias se somam para variáveis independentes).
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ? · X e Y são independentes. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Variances always add. · Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Variâncias sempre se somam.
Distributions under linear combinations
- If $X$ is normal, so is $aX + b$; the sum of independent normals is normal.
- The sum of independent Poissons is Poisson: if $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ and $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, then $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
Distribuições sob combinações lineares
- Se $X$ é normal, então $aX + b$ também é; a soma de normais independentes é normal.
- A soma de Poissons independentes é Poisson: se $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ e $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, então $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
If X ~ Po(3) and Y ~ Po(5) are independent, then X + Y ~ Po(8). · Se X ~ Po(3) e Y ~ Po(5) são independentes, então X + Y ~ Po(8).
The sum of independent Poisson variables is Poisson with parameter λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8. · A soma de variáveis Poisson independentes é Poisson com parâmetro λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
Worked example — combining normals
- $X \sim N(10, 4)$ and $Y \sim N(20, 9)$, independent. Find the distribution of $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- So $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Linear combinations of normal distributions are normal; sums of independent Poisson distributions are Poisson.
Exemplo resolvido — combinando normais
- $X \sim N(10, 4)$ e $Y \sim N(20, 9)$, independentes. Encontre a distribuição de $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- Então $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Combinações lineares de distribuições normais são normais; somas de distribuições de Poisson independentes são Poisson.
You've got it
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (the $b$ drops, $a$ is squared)
- independent: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- normal stays normal under a linear rule; sums of independent Poissons are Poisson
Entendeu?
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (o $b$ cai, $a$ é elevado ao quadrado)
- independente: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- a normal permanece normal sob uma regra linear; somas de Poissons independentes são Poisson