The Poisson distribution · A distribuição de Poisson
| English | Português |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição de Poisson |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalo |
| mean/miːn/ | média |
| variance/ˈveərɪəns/ | variação |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | superdispersão |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parâmetro |
The queue that never ends
- Customers arrive at a shop at an average rate of 3 per minute. What's the probability that exactly 5 arrive in the next minute?
- The Poisson distribution 泊松分布 models rare events happening at a steady rate — from phone calls to radioactive decay.
A fila que nunca termina
- Clientes chegam a uma loja em taxa média de 3 por minuto. Qual é a probabilidade de exatamente 5 chegarem no próximo minuto?
- A distribuição de Poisson 泊松分布 modela eventos raros ocorrendo em taxa constante — de chamadas telefônicas a decaimento radioativo.
The Poisson distribution
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ models the number of random events in a fixed interval 区间 at a steady rate $\lambda$:
Worked example. Calls arrive at a rate of $\lambda = 4$ per hour. P(exactly 2 calls) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
People arriving at random in a queue follow a Poisson distribution
A distribuição de Poisson
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ modela o número de eventos aleatórios em um intervalo fixo 区间 em uma taxa constante $\lambda$:
Exemplo resolvido. Chamadas chegam em taxa de $\lambda = 4$ por hora. P(exatamente 2 chamadas) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
Pessoas chegando aleatoriamente em uma fila seguem uma distribuição de Poisson
The Poisson distribution · A distribuição de Poisson
X ~ Po(λ)
The Poisson counts random events in an interval. Its mean · média and · e variance are both λ. · A Poisson conta eventos aleatórios em um intervalo. Sua média e variância são ambas λ.
For X ~ Po(3), find P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Give your answer to 3 decimal places. · Para X ~ Po(3), encontre P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Dê sua resposta com 3 casas decimais.
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
For X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Find it (3 dp). · Para X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Encontre-o (3 casas decimais).
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
Match each Poisson idea to its result. · Associe cada ideia de Poisson ao seu resultado.
For a Poisson distribution the mean and the variance are both lambda. · Para uma distribuição Poisson, a média e a variância são ambas lambda.
Properties of the Poisson
- For a Poisson variable, the mean 平均数 and variance 方差 both equal $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- This is unique — no other common distribution has this property.
For Po(3) the mean and variance are both 3; the bars give P(X = k).
Mean = variance is the test. If your data has mean ≈ variance, the Poisson model may be appropriate. If variance is much larger than the mean, the events are not independent (overdispersion 过度离散) and Poisson is wrong.
Propriedades da Distribuição de Poisson
- Para uma variável de Poisson, a média 平均数 e a variância 方差 ambas são iguais a $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- Isso é único — nenhuma outra distribuição comum possui essa propriedade.
Para Po(3), a média e a variância são ambas 3; as barras representam P(X = k).
Média = variância é o teste. Se seus dados têm média ≈ variância, o modelo de Poisson pode ser adequado. Se a variância for muito maior que a média, os eventos não são independentes (superdispersão 过度离散) e Poisson está errado.
For X ~ Po(3), what is the mean of X? · Para X ~ Po(3), qual é a média de X?
For a Poisson variable, the mean equals λ = 3 (and so does the variance). · Para uma variável Poisson, a média é igual a λ = 3 (e também a variância).
For X ~ Po(3), what is the variance of X? · Para X ~ Po(3), qual é a variância de X?
For a Poisson variable, the variance also equals λ = 3. · Para uma variável Poisson, a variância também é igual a λ = 3.
For a Poisson distribution, the mean and variance are always equal. · Para uma distribuição Poisson, a média e a variância são sempre iguais.
This is a defining property of the Poisson distribution: E(X) = Var(X) = λ. · Esta é uma propriedade definidora da distribuição Poisson: E(X) = Var(X) = λ.
Poisson approximation to the binomial
- The Poisson approximates the binomial when $n$ is large and $p$ is small.
- Use $\lambda = np$ as the Poisson parameter 参数.
- Example: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
Aproximação de Poisson à binomial
- A Poisson aproxima a binomial quando $n$ é grande e $p$ é pequeno.
- Use $\lambda = np$ como parâmetro de Poisson 参数.
- Exemplo: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). Approximate with Poisson: λ = np. Find λ. · X ~ B(200, 0.01). Aproxime com Poisson: λ = np. Encontre λ.
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
Worked example — approximation
- $X \sim B(100, 0.02)$. Approximate with Poisson: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- The normal distribution approximates the binomial distribution (with a continuity correction) when appropriate.
Exemplo resolvido — aproximação
- $X \sim B(100, 0.02)$. Aproxime com Poisson: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- A distribuição normal aproxima a distribuição binomial (com uma correção de continuidade) quando apropriado.
You've got it
- Poisson: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- mean and variance both equal $\lambda$
- approximates the binomial for large $n$, small $p$ (use $\lambda = np$)
Entendeu?
- Poisson: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- média e variância ambas iguais a $\lambda$
- aproxima a binomial para grandes $n$, pequenas $p$ (use $\lambda = np$)