The normal distribution · A distribuição normal
| English | Português |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição normal |
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | variável contínua |
| standardize/ˈstændədaɪz/ | padronizar |
| approximate/əˈprɒksɪmət/ | aproximar |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | correção de continuidade |
The curve that rules the world
- Heights, IQ scores, measurement errors, exam results — all follow the same symmetric bell-shaped curve.
- The normal distribution 正态分布 is the most important distribution in statistics. Master it and you can model almost any continuous variable 连续变量.
A curva que rege o mundo
- Alturas, escores de QI, erros de medição, resultados de exames — todos seguem a mesma curva simétrica em forma de sino.
- A distribuição normal 正态分布 é a mais importante em estatística. Domine-a e você poderá modelar quase qualquer variável contínua 连续变量.
The normal distribution
- The normal distribution models a continuous variable with a symmetric bell shape: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- The mean $\mu$ determines the centre; the standard deviation $\sigma$ determines the spread.
The 68-95-99.7 rule. About 68% of values lie within 1 standard deviation of the mean, 95% within 2, and 99.7% within 3.
The normal curve is symmetric about the mean; about 68% of the area lies within one standard deviation.
A distribuição normal
- A distribuição normal modela uma variável contínua com formato simétrico de sino: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- A média $\mu$ determina o centro; o desvio padrão $\sigma$ determina a dispersão.
A regra 68-95-99.7. Cerca de 68% dos valores estão dentro de 1 desvio padrão da média, 95% dentro de 2 e 99.7% dentro de 3.
A curva normal é simétrica em relação à média; cerca de 68% da área está dentro de um desvio padrão.
*A área representa a probabilidade: 68% dos valores estão dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois e 99.7% dentro de três.
The normal curve · A curva normal
P(Z < z)
The · A area · área under the bell up to z is the probability · probabilidade P(Z < z) — slide z to read it off. · A área sob a sino até z é a probabilidade P(Z < z) — deslize z para lê-la.
The normal distribution curve is: · A curva da distribuição normal é:
It is the symmetric bell-shaped curve centred on the mean μ. · É a curva em forma de sino simétrica centrada na média μ.
Approximately what percentage of values lie within 1 standard deviation of the mean? · Aproximadamente que porcentagem de valores fica dentro de 1 desvio padrão da média?
The 68-95-99.7 rule: ~68% within 1σ, ~95% within 2σ, ~99.7% within 3σ. · Regra 68-95-99.7: ~68% dentro de 1σ, ~95% dentro de 2σ, ~99.7% dentro de 3σ.
Complete the standardising formula: Z = (X − μ) / ______. · Complete a fórmula de padronização: Z = (X − μ) / ______.
Z = (X − μ)/σ converts any normal variable to the standard normal N(0, 1). · Z = (X − μ)/σ converte qualquer variável normal para a normal padrão N(0, 1).
Standardising
- To use the tables, standardize 标准化 to $Z \sim N(0, 1)$:
- Then $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, read from the $\Phi$ table.
A Galton board: balls fall through rows of pegs and pile up into the bell-shaped normal distribution
Padronização
- Para usar as tabelas, padronize 标准化 para $Z \sim N(0, 1)$:
- Então $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, lido na tabela $\Phi$.
Um tabuleiro de Galton: bolas caem através de fileiras de pregos e acumulam-se na distribuição normal em forma de sino
X ~ N(50, 4) means μ = 50, σ = 2. Standardize x = 56: what is Z = (x − μ)/σ? · X ~ N(50, 4) significa μ = 50, σ = 2. Padronize x = 56: qual é Z = (x − μ)/σ?
Z = (56 − 50)/2 = 6/2 = 3.
X ~ N(100, 25) means μ = 100, σ = 5. Standardize x = 90: Z = (90 − 100)/5. Find Z. · X ~ N(100, 25) significa μ = 100, σ = 5. Padronize x = 90: Z = (90 − 100)/5. Encontre Z.
Z = (90 − 100)/5 = −10/5 = −2.
Worked example
- $X \sim N(50, 16)$ (so $\mu = 50$, $\sigma = 4$). Find $P(X < 58)$.
- $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
- $P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$.
Standardise before using tables. The $\Phi$ table only works for $Z \sim N(0, 1)$. You must convert $X$ to $Z$ first using $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
A Galton board produces the bell-shaped normal distribution
Exemplo resolvido
- $X \sim N(50, 16)$ (portanto $\mu = 50$, $\sigma = 4$). Encontre $P(X < 58)$.
- $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
- $P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$.
Padronize antes de usar as tabelas. A tabela $\Phi$ só funciona para $Z \sim N(0, 1)$. Você deve converter $X$ para $Z$ primeiro usando $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.
Um tabuleiro de Galton produz a distribuição normal em forma de sino
If Z = 2, Φ(2) = 0.9772. What is P(Z < 2) (to 4 dp)? · Se Z = 2, Φ(2) = 0.9772. Qual é P(Z < 2) (até 4 casas decimais)?
P(Z < 2) = Φ(2) = 0.9772 from the standard normal table. · P(Z < 2) = Φ(2) = 0.9772 da tabela normal padrão.
Approximating 近似 the binomial
- For large $n$, the normal distribution approximates the binomial: $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$.
- Because you replace a discrete variable by a continuous one, apply a continuity correction 连续性校正 (adjust by 0.5).
For large n the binomial bars closely follow the smooth normal curve N(np, np(1−p))
The binomial distribution B(10, 0.3); its mean is np = 3
- The normal models a continuous random variable; use standardisation $Z=(X-\mu)/\sigma$, and as an approximation to the binomial.
Aproximando 近似 a distribuição binomial
- Para grandes $n$, a distribuição normal aproxima a binomial: $B(n, p) \approx N(np, np(1-p))$.
- Como você substitui uma variável discreta por uma contínua, aplique uma correção de continuidade (ajuste por 0.5).
Para n grande, as barras binomiais seguem de perto a curva suave normal N(np, np(1−p))
A distribuição binomial B(10, 0.3); sua média é np = 3
- A normal modela uma variável aleatória contínua; use padronização $Z=(X-\mu)/\sigma$, e como aproximação para a binomial.
When the normal distribution approximates the binomial, a continuity correction of 0.5 is applied. · Quando a distribuição normal aproxima a binomial, aplica-se uma correção de continuidade de 0.5.
Replacing a discrete variable with a continuous one needs a ±0.5 continuity correction. · Substituir uma variável discreta por uma contínua exige uma correção de continuidade de ±0.5.
You've got it
- $X \sim N(\mu, \sigma^2)$; standardize with $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
- read probabilities as areas from the $\Phi$ table for $Z \sim N(0,1)$
- the normal approximates the binomial for large $n$ (use a continuity correction)
Entendeu?
- $X \sim N(\mu, \sigma^2)$; padronize com $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
- leia probabilidades como áreas da tabela $\Phi$ para $Z \sim N(0,1)$
- a normal aproxima a binomial para grandes $n$ (use uma correção de continuidade)