Discrete random variables · Variáveis aleatórias discretas
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|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variável aleatória discreta |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | expectativa |
| variance/ˈveərɪəns/ | variação |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição de probabilidade |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição binomial |
| trial/ˈtraɪəl/ | ensaio |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição geométrica |
The loaded die
- A fair die gives each face probability $\dfrac{1}{6}$. But what if the die is loaded? Each outcome still has a probability, but they're no longer equal.
- A discrete random variable 离散型随机变量 assigns a probability to each possible outcome — the foundation of statistical modelling.
O dado viciado
- Um dado justo dá cada face probabilidade $\dfrac{1}{6}$. Mas e se o dado for viciado? Cada resultado ainda tem uma probabilidade, mas elas não são mais iguais.
- Uma variável aleatória discreta 离散型随机变量 atribui uma probabilidade a cada resultado possível — a base da modelagem estatística.
Discrete random variables
- A discrete random variable $X$ takes separate values, each with a probability (they sum to 1).
- Expectation 期望 (mean): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- Variance 方差: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
Worked example. $X$ takes values 1, 2, 3 with probabilities 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
Probabilities must sum to 1. Before calculating expectation or variance, always check that $\sum P(X = x) = 1$. If it doesn't, the probability distribution 概率分布 is invalid.
Variáveis aleatórias discretas
- Uma variável aleatória discreta $X$ assume valores separados, cada um com uma probabilidade (soma igual a 1).
- Esperança 期望 (média): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- Variância 方差: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
Exemplo resolvido. $X$ assume os valores 1, 2, 3 com as probabilidades 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
As probabilidades devem somar 1. Antes de calcular a esperança ou variância, verifique sempre que $\sum P(X = x) = 1$. Se não for, a distribuição de probabilidade 概率分布 é inválida.
The binomial distribution · A distribuição binomial
X ~ B(n, p)
Each bar is the chance of k successes. Change n and · e p and watch the mean · média np shift. · Cada barra é a chance de k sucessos. Altere n e p e veja a média np mudar.
In a probability distribution table, the probabilities must add up to 1. · Em uma tabela de distribuição de probabilidade, as probabilidades devem somar 1.
A valid distribution has all probabilities summing to 1. · Uma distribuição válida tem todas as probabilidades somando 1.
X takes values 1, 2, 3 with P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). Find it. · X assume valores 1, 2, 3 com P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). Encontre-o.
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
If E(X) = 2.1 and E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))². Find it. · Se E(X) = 2.1 e E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))². Encontre-o.
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
Match each binomial idea to its result. · Associe cada ideia binomial ao seu resultado.
A binomial has fixed n trials with constant p; its mean is np and variance np(1−p). · Uma binomial tem n ensaios fixos com p constante; sua média é np e variância np(1−p).
The binomial distribution 二项分布
- Binomial $X \sim B(n, p)$ — number of successes in $n$ independent trials 试验:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
Each bar is P(X = r) for B(10, 0.3); the distribution peaks at the mean np = 3.
A distribuição binomial 二项分布
- Binomial $X \sim B(n, p)$ — número de sucessos em $n$ ensaios independentes 试验:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
Cada barra representa P(X = r) para B(10, 0.3); a distribuição tem pico na média np = 3.
For X ~ B(10, 0.3), what is E(X) = np? · Para X ~ B(10, 0.3), qual é E(X) = np?
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
For X ~ B(10, 0.3), what is Var(X) = np(1−p)? · Para X ~ B(10, 0.3), qual é Var(X) = np(1−p)?
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
The geometric distribution 几何分布
- Geometric — the trial number of the first success:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
A distribuição geométrica 几何分布
- Geométrica — o número do ensaio do primeiro sucesso:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
For a geometric distribution with p = 0.2, E(X) = 1/p. Find it. · Para uma distribuição geométrica com p = 0.2, E(X) = 1/p. Encontre-o.
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. On average, the first success occurs on trial 5. · E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. Em média, o primeiro sucesso ocorre na tentativa 5.
Worked example — binomial
- $X \sim B(10, 0.3)$. Find $P(X = 2)$ and $E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
Exemplo resolvido — binomial
- $X \sim B(10, 0.3)$. Encontre $P(X = 2)$ e $E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
You've got it
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- binomial $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- geometric: first success on trial $r$, $E = \dfrac1p$
Entendeu?
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- binomial $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- geométrica: primeiro sucesso no ensaio $r$, $E = \dfrac1p$