Inference using normal and t-distributions · Inferência usando distribuições normal e t
| English | Português |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | amostra |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribuição |
| variance/ˈveərɪəns/ | variação |
| tail/teɪl/ | cauda |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | intervalo de confiança |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | graus de liberdade |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | erro padrão |
| paired/peəd/ | pareados |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | estimativa agrupada |
Small samples 样本, honest uncertainty
- With a huge sample you can use the normal distribution 分布. But with only, say, 8 measurements and an unknown spread, the normal is too confident.
- William Gosset, brewing at Guinness, invented the $t$-distribution to handle exactly this — small samples with unknown variance 方差.
Pequenas amostras 样本, incerteza honesta
- Com uma amostra enorme, você pode usar a distribuição normal 分布. Mas com apenas, digamos, 8 medições e dispersão desconhecida, a normal é excessivamente confiante.
- William Gosset, na cervejaria Guinness, inventou a distribuição $t$-t para lidar exatamente com isso — pequenas amostras com variância desconhecida 方差.
When to use the t-distribution
- Use the $t$-distribution when the sample is small and the population variance is unknown (you estimate it with the sample's $s$).
- It is bell-shaped like the normal but with heavier tails 尾部 — wider, to admit the extra uncertainty.
The t-distribution is bell-shaped like the normal but with heavier tails; as the sample grows it approaches the normal.
Quando usar a distribuição t
- Use a distribuição $t$-t quando a amostra for pequena e a variância populacional for desconhecida (você a estima com a $s$ da amostra).
- Ela tem formato de sino como a normal, mas com caudas mais pesadas 尾部 — mais largas, para admitir a incerteza extra.
A distribuição t tem formato de sino como a normal, mas com caudas mais pesadas; conforme a amostra cresce, ela se aproxima da normal.
Inference & the normal curve · Inferência & a curva normal
P(Z < z)
Tests and intervals read areas under the normal curve — slide z to find them. · Testes e intervalos leem áreas sob a curva normal — deslize z para encontrá-las.
You use the t-distribution (rather than the normal) when: · Você usa a distribuição t (em vez da normal) quando:
Small n with unknown σ → estimate with s and use t. · Pequeno n com σ desconhecido → estimar com s e usar t.
The t-distribution has heavier tails than the normal distribution. · A distribuição t possui caudas mais pesadas que a distribuição normal.
Heavier tails reflect the extra uncertainty from estimating the variance; t → normal as n grows. · Caudas mais pesadas refletem a incerteza extra na estimação da variância; t → normal conforme n cresce.
Confidence interval 置信区间 for the mean
- A confidence interval for the population mean:
- $t$ comes from the $t$-tables with $n - 1$ degrees of freedom 自由度; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ is the standard error 标准误.
Intervalo de confiança 置信区间 para a média
- Um intervalo de confiança para a média populacional:
- $t$ vem das tabelas $t$ com $n - 1$ graus de liberdade 自由度; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ é o erro padrão 标准误.
For a single sample of size n = 10, how many degrees of freedom does the t-value use? · Para uma única amostra de tamanho n = 10, quantos graus de liberdade usa o valor de t?
Degrees of freedom = n − 1 = 9. · Graus de liberdade = n − 1 = 9.
The quantity s/√n is called the standard ______. · A quantidade s/√n é chamada erro padrão ______.
The standard error of the mean is s/√n. · O erro padrão da média é s/√n.
Worked example
- A sample of $n = 10$ has $s = 4$; for 95% with 9 degrees of freedom, $t = 2.262$.
- Margin $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
The t-distribution has a lower peak and heavier tails than the normal
Exemplo resolvido
- Uma amostra de $n = 10$ tem $s = 4$; para 95% com 9 graus de liberdade, $t = 2.262$.
- Margem $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 casas decimais).
A distribuição t tem um pico mais baixo e caudas mais pesadas do que a normal
A sample n = 10 has s = 4. With t = 2.262, what is the margin t × s/√n? (2 dp) · Uma amostra n = 10 tem s = 4. Com t = 2.262, qual é a margem t × s/√n? (2 casas decimais)
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86.
Comparing two populations
- A 2-sample or paired 配对 $t$-test compares two populations.
- When the two are assumed to share a variance, combine them into a pooled estimate 合并估计 of $s^2$.
Degrees of freedom, not $n$. The $t$-value uses $n - 1$ degrees of freedom, not $n$. Reading the wrong row of the table is the most common error.
- For a small sample, base a hypothesis test on the $t$-distribution: a 2-sample t-test or a paired sample t-test.
Comparando duas populações
- Um teste $t$ de 2 amostras ou pareado 配对 compara duas populações.
- Quando assume-se que as duas compartilham uma variância, combine-as em uma estimativa agrupada 合并估计 de $s^2$.
Graus de liberdade, não $n$. O valor $t$ usa $n - 1$ graus de liberdade, não $n$. Ler a linha errada da tabela é o erro mais comum.
- Para uma pequena amostra, baseie um teste de hipótese na distribuição $t$: um teste-t de 2 amostras ou um teste-t de amostra pareada.
You've got it
- small sample + unknown variance → use the $t$-distribution ($n-1$ degrees of freedom)
- CI for the mean: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, with standard error $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- compare two populations with a 2-sample or paired $t$-test (pool the variance when shared)
Entendeu?
- pequena amostra + variância desconhecida → use a distribuição $t$-t ($n-1$ graus de liberdade)
- IC para a média: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, com erro padrão $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- compare duas populações com um teste $t$ de 2 amostras ou pareado (agrupe a variância quando compartilhada)