Differential equations (Further Pure 2) · Equações diferenciais (Further Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação diferencial |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | fator integrante |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solução geral |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | função complementar |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | equação auxiliar |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | condição de contorno |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condição inicial |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | integral particular |
When the unknown is a function
- Ordinary equations solve for a number. A differential equation 微分方程 solves for a whole function — given a rule about its rate of change.
- They model cooling coffee, growing populations, charging capacitors, and swinging pendulums.
Quando a incógnita é uma função
- Equações ordinárias resolvem para um número. Uma equação diferencial 微分方程 resolve para uma função inteira — dada uma regra sobre sua taxa de variação.
- Modelam café esfriando, populações crescendo, capacitores carregando e pêndulos balançando.
First-order linear: the integrating factor 积分因子
- For $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiply through by the integrating factor:
- This makes the left side collapse to $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, so you can integrate both sides directly.
Worked example. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Here $P = 2$, so $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. The left side becomes $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Linear de primeira ordem: o fator integrante 积分因子
- Para $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiplique tudo pelo fator integrante:
- Isso faz o lado esquerdo colapsar para $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, permitindo integrar ambos os lados diretamente.
Exemplo resolvido. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Aqui $P = 2$, então $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. O lado esquerdo torna-se $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Differential equations · Equações diferenciais
dy/dx = a y
The equation sets the slope · inclinação everywhere; the solution follows those slopes. · A equação define a inclinação em todo o lado; a solução segue essas inclinações.
For dy/dx + 2y = eˣ, the integrating factor μ = e^(∫2 dx) is: · Para dy/dx + 2y = eˣ, o fator integrante μ = e^(∫2 dx) é:
∫2 dx = 2x, so μ = e^(2x). · ∫2 dx = 2x, logo μ = e^(2x).
Multiplying by the integrating factor makes the left side d/dx(μy), so you can integrate directly. · Multiplicar pelo fator integrante torna o lado esquerdo d/dx(μy), permitindo integrar diretamente.
That is the whole point of the integrating factor — it makes the left side an exact derivative. · Esse é o próprio objetivo do fator integrante — torna o lado esquerdo uma derivada exata.
Second-order, constant coefficients
- For $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, the general solution 通解 has two parts:
- The complementary function 余函数 (CF) comes from the auxiliary equation 辅助方程 $am^2 + bm + c = 0$.
Segunda ordem, coeficientes constantes
- Para $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, a solução geral 通解 tem duas partes:
- A função complementar 余函数 (CF) vem da equação auxiliar 辅助方程 $am^2 + bm + c = 0$.
For a constant-coefficient linear equation, the general solution is: · Para uma equação linear de coeficientes constantes, a solução geral é:
General solution = complementary function (RHS = 0) + a particular integral. · Solução geral = função complementar (LHS = 0) + uma integral particular.
Reading the auxiliary roots
- The roots of the auxiliary equation decide the shape of the CF:
| roots | complementary function |
|---|---|
| real & distinct $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| repeated $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| complex $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
A differential equation has a whole family of solution curves; the boundary conditions 边界条件 pick out one.
Lendo as raízes auxiliares
- As raízes da equação auxiliar decidem a forma da CF:
| raízes | função complementar |
|---|---|
| reais e distintas $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| repetido $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| complexas $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
Uma equação diferencial tem uma família inteira de curvas solução; as condições de contorno 边界条件 selecionam uma.
For y″ − 5y′ + 6y = 0 the auxiliary equation is m² − 5m + 6 = 0. What is its larger root? · Para y″ − 5y′ + 6y = 0 a equação auxiliar é m² − 5m + 6 = 0. Qual é a sua raiz maior?
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, so m = 2 or 3; the larger is 3. · m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, logo m = 2 ou 3; a maior é 3.
Match each type of auxiliary root to the complementary function it gives. · Relacione cada tipo de raiz auxiliar à função complementar que produz.
Distinct reals give two exponentials; a repeated root adds a factor of x; complex roots give an oscillating, exponentially-scaled form. · Reais distintos dão dois exponenciais; uma raiz repetida adiciona um fator x; raízes complexas dão uma forma oscilatória escalonada exponencialmente.
Boundary conditions
- The constants $A, B$ are fixed by boundary or initial conditions 初始条件 (e.g. $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Without them you get the whole family; with them, the one curve that fits.
- Solve differential equations with a substitution or by separable variables, then apply initial conditions for the particular solution.
Condições de contorno
- As constantes $A, B$ são fixadas por condições de contorno ou condições iniciais 初始条件 (ex. $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Sem elas, você tem toda a família; com elas, a única curva que se encaixa.
- Resolva equações diferenciais com uma substituição ou por variáveis separáveis, depois aplique condições iniciais para a solução particular.
The arbitrary constants A and B are fixed by the ______ conditions. · As constantes arbitrárias A e B são fixadas pelas condições de ______.
Boundary or initial conditions (like y(0) = 1) determine A and B. · Condições de fronteira ou iniciais (como y(0) = 1) determinam A e B.
You've got it
- first-order linear: multiply by $\mu = e^{\int P\,dx}$, then integrate
- second-order: general = complementary function + particular integral 特积分
- the CF comes from the auxiliary equation; boundary conditions fix the constants
Entendeu?
- linear de primeira ordem: multiplique por $\mu = e^{\int P\,dx}$, depois integre
- segunda ordem: geral = função complementar + integral particular 特积分
- a CF vem da equação auxiliar; condições de contorno fixam as constantes