Foco HL apoiado. Primeira avaliação 2021; atual até 2028. Curso de primeira-avaliação-2029 é separado. Guia restante, avaliação e requisitos práticos retêm seus registros pendentes.
Pré-requisitos: leia as quantidades e unidades declaradas, use aritmética e as condições do modelo abaixo. Cada lição desenvolve seu próprio método antes da transferência independente.
Estes são exemplos didáticos originais ou explicitamente fictícios, não medições reais ou investigações avaliadas concluídas por aprendizes.
Uma estrada curva tem diferentes inclinações em diferentes posições. Uma inclinação média não pode descrever todos os pontos.
Esta lição estuda derivada: A taxa instantânea de variação, também conhecida como inclinação de uma tangente.
Escolha a estrutura matemática
Para y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Um ponto estacionário satisfaz dy/dx=0. Verifique a mudança de sinal da derivada ou a segunda derivada quando for não nula para classificá-lo.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Para y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. Em x=1, a inclinação é 0 e y=-2. A segunda derivada é 6x, positiva em x=1, logo este é um mínimo local. Em x=-1, y=2 e a segunda derivada é negativa, resultando em um máximo local.
Teste um atalho tentador
Uma derivada nula nem sempre significa máximo ou mínimo: y=x³ é estacionária em 0 mas continua crescendo. Uma extremidade também pode gerar valor extremo em um domínio restrito.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Todo ponto com derivada nula é um máximo ou mínimo local. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
No GCSE/IGCSE use apenas o escopo polinomial permitido pelo nível; não adicione regras da cadeia, produto ou quociente aqui. No nível avançado, conecte a derivada a taxas e otimização com um domínio válido.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Aplicações e Interpretação HL na primeira avaliação atual de 2021. Este é apoio conceitual authored; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
A taxa de variação instantânea, também a inclinação de uma tangente. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
5.3
Busca de raízes e integração numérica
Quão confiável é uma aproximação?
Uma equação não linear não possui uma solução exata conveniente. Uma aproximação ainda precisa de evidências de que é confiável.
Esta lição estuda iteração: Uma atualização repetida na qual cada nova aproximação é calculada a partir da anterior.
Escolha a estrutura matemática
Uma função contínua com sinais opostos em duas extremidades tem uma raiz entre elas. O método de Newton usa x_next=x-f(x)/f'(x), com uma derivada não nula. A regra do trapézio aproxima uma integral definida usando as alturas das extremidades.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Resolva um caso verificado
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Para f(x)=x²-2 e x₀=1.5, Newton dá x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Com y=x² no intervalo [0,2] e dois intervalos iguais, h=1 e área do trapézio=(1/2)(0+2×1+4)=3; a área exata é 8/3.
Teste um atalho tentador
Uma mudança de sinal através de uma descontinuidade não prova a existência de uma raiz. A iteração pode divergir ou formar um ciclo. A superestimação ou subestimação da regra do trapézio depende da curvatura, não apenas se a função é crescente.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Toda mudança de sinal garante uma raiz, incluindo uma através de uma descontinuidade. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Forneça um critério de parada e relate precisão razoável. Confirme a raiz aproximada por meio de um intervalo de sinais em torno da resposta arredondada declarada; explique qualquer falha na iteração escolhida.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Aplicações e Interpretação HL na primeira avaliação atual de 2021. Este é apoio conceitual authored; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
Uma atualização repetida na qual cada nova aproximação é calculada a partir da anterior. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
5.4
Regra da cadeia, produto, quociente e derivação implícita
A expressão interna também muda?
Uma curva de custo é uma potência de uma expressão variável. Diferenciar apenas a potência externa ignora a taxa de sua entrada.
Esta aula estuda a regra da cadeia: a regra que multiplica a derivada externa pela derivada interna para uma função composta.
Escolha a estrutura matemática
Para y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). Para uv, diferencie para u prime v+uv prime. Para u/v, use (u prime v-uv prime)/v², onde v≠0.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Para y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. Em x=0, a inclinação é 12. Para x²+y²=25, diferencie implicitamente: 2x+2y y prime=0, então y prime=-x/y quando y≠0.
Teste um atalho tentador
A derivada de um produto não é o produto das derivadas. Na diferenciação implícita, toda função diferenciada de y traz um fator dy/dx. O denominador de um quociente é elevado ao quadrado.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
A derivada de u(x)v(x) é sempre u prime vezes v prime. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Interprete uma nova situação
Escolha uma forma útil antes de diferenciar: expandir um polinômio curto pode ser mais simples. Para taxas relacionadas, escreva a relação em símbolos, diferencie em relação ao tempo e substitua os valores medidos.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Aplicações e Interpretação HL na primeira avaliação atual de 2021. Este é apoio conceitual authored; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
A regra que multiplica a derivada externa pela derivada interna para uma função composta. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.
5.5
Substituição, partes e frações parciais
Podemos integrar os dois fatores separadamente?
Um produto simples como xe^x não pode ser integrado integrando cada fator separadamente.
Esta lição estuda integração por partes: um método de integração baseado na derivada de um produto.
Escolha a estrutura matemática
Use substituição quando aparecer uma derivada interna como fator. Por partes: integral u v prime = uv - integral u prime v. Para uma função racional, divida primeiro se necessário, depois decomponha em frações parciais.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Resolva um caso verificado
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Para integral xe^x dx, take u=x and v prime=e^x. Then the integral is xe^x-e^x+C. Para integral 2x/(x²+1) dx, substitua w=x²+1, dw=2x dx; a resposta é ln(x²+1)+C.
Teste um atalho tentador
Escolher bem u e v prime importa: a integral restante deve tornar-se mais simples. Em uma substituição definida, altere os limites ou retorne a x antes de aplicar os limites originais.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
A integral de um produto é igual ao produto de suas integrais separadas. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou pressuposto ela viola.
Interprete uma nova situação
Verifique diferenciando. Para volumes de revolução em torno do eixo x, use V=π↦y² dx; não confunda o quadrado de uma função com a integral da função.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Aplicações e Interpretação HL na primeira avaliação atual de 2021. Este é apoio conceitual authored; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
Um método de integração baseado na derivada de um produto. Escolha a relação, apresente o método, verifique seus pressupostos e interprete o resultado.
5.6
Equações diferenciais e soluções numéricas
O que o valor inicial determina?
A taxa de crescimento de uma população é proporcional ao seu tamanho atual. A equação de taxa descreve toda uma família até que uma população inicial seja especificada.
Esta lição estuda condição inicial: Um valor especificado que seleciona uma solução particular de uma família.
Escolha a estrutura matemática
Para dy/dx=ky, separe as variáveis: dy/y=k dx, resultando em y=Ae^(kx). Use uma condição inicial para encontrar A. O método de Euler utiliza y_next=y+h f(x,y), com um passo h escolhido.
Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Resolva um caso verificado
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Exemplo:
Com dy/dx=0.5y e y(0)=2, tem-se y=2e^(0.5x). Com Euler e h=0.2, obtém-se y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 e y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. O segundo valor exato é aproximadamente 2.4428.
Teste um atalho tentador
Uma condição inicial determina a constante de integração; ela não substitui a integração. Dividir por y pode omitir uma solução de equilíbrio y=0. A precisão de Euler depende do tamanho do passo e da equação.
Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Atenção:
Cada tamanho de passo fornece exatamente a mesma aproximação de Euler. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou premissa ela viola.
Interprete uma nova situação
Para equações lineares de segunda ordem, combine a função complementar com uma integral particular adequada e aplique as condições iniciais necessárias. Este é conteúdo de Further Pure; verifique a unidade nomeada.
Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Use isso em seu curso
Aplicações e Interpretação HL na primeira avaliação atual de 2021. Este é apoio conceitual authored; o guia completo é necessário para certificar cada objetivo.
Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Chave:
Um valor especificado que seleciona uma solução particular de uma família. Escolha a relação, apresente o método, verifique seus pressupostos e interprete o resultado.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.
