M2 · Mechanics 2

Estatística 1 (S1, prova WST01/01, 1 hora 30 minutos, 75 pontos, primeira avaliação junho 2019) é o parceiro estatístico de M1 em Matemática Internacional AS; P1 e P2 são pressupostos. O livro de fórmulas contém as tabelas estatísticas; as fórmulas abaixo são suas para memorizar. Este referencial cobre representação e resumo de dados, probabilidade, correlação e regressão, variáveis aleatórias discretas e a distribuição Normal.

Essencial para S1 (não no livro de fórmulas):

Um modelo estatístico é uma descrição simplificada de uma situação real usada para representar, analisar e prever. Motivos para usá-lo: é mais rápido e barato que o experimento real, pode ser repetido e refinado, e expõe relações. Conheça os motivos padrão — "fazer" apenas previsões não é suficiente para obter o ponto.

Em um histograma, a ÁREA é a frequência: a altura da barra é a densidade de frequência $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, portanto classes desiguais têm larguras desiguais, e comparar barras é comparar densidades. Um caule e folhas mantém os valores originais (trás-com-trás compara dois grupos). Um diagrama de caixa mostra mínimo, primeiro quartil, mediana, terceiro quartil, máximo, com outliers marcados como cruzes separadas sob qualquer regra que a questão estabelecer.

Exemplo resolvido — alturas de histogramas por razão (WST01 junho 2025 Q5a). Velocidades de 225 carros em classes de larguras 5, 5, 10, 15, 15 com frequências 54, 90, 60, 15, 6: as densidades são 10.8, 18, 6, 1, 0.4. A barra mais alta (25–30, densidade 18) tem 10 cm de altura, então a segunda mais alta (20–25, densidade 10.8) mede $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ cm. Cuidado: a barra 30–40 TAMBÉM tem densidade 6 — apenas o argumento de razão vale pontos, não "60 ÷ 10".

Para dados agrupados, estime a mediana ou quartis por interpolação linear dentro da classe contendo: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. A amplitude interquartil é $Q_3 - Q_1$; variância é $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (ou $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). Combinando grupos: total $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, total $\sum x^2$ soma diretamente, depois reaplique as fórmulas. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Codificação inverte: se $w = 11.5d$, então $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ e $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

Exemplo resolvido — combinando duas turmas (WST01 junho 2025 Q2). Turma A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; turma B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; a média combinada dos alunos é 54 média combinada dos alunos 45. Então $\sum x = 54(45) = 2430$, logo $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ e $b = 43.4$. O desvio padrão combinado: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. Se todas as notas de B aumentarem em 2: a variância de B permanece inalterada (deslocamento não altera dispersão), a média combinada aumenta, e o DP combinado diminui — B agora fica mais próximo de A, reduzindo a dispersão do grupo todo.

Exemplo resolvido — interpolação de quartis (WST01 junho 2025 Q5c–d). Com frequências acumuladas frequencies 54, 144, 204, 219, 225: a mediana é o valor 112.5, dentro 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ é o 168.75º, dentro de 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, logo com $Q_1 = 25.14$ dado, $IQR = 8.985$.

Compare distâncias: $(Q_3 - Q_2)$ versus $(Q_2 - Q_1)$, ou média versus mediana. Acima, $5.875 > 3.11$ (e média $30.6 >$ > mediana $28.25$), logo as velocidades são assimetricamente positivas (assimetria à direita) — razão pela qual um modelo Normal seria rejeitado.

Trabalhe a partir do espaço amostral: listar resultados supera aplicar fórmulas. Para quaisquer dois eventos, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ e $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; independência significa $P(B\mid A) = P(B)$, resultando na regra do produto. Probabilidade condicional reverte a árvore: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Sem reposição, o frações da segunda camada diminuem em um no numerador e denominador.

Exemplo resolvido — Venn para condicional (WST01 June 2025 Q4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. Então $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ e $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — preencha o diagrama de Venn e ambas as respostas surgirão.

Exemplo resolvido — uma árvore com inversão (WST01 June 2025 Q7). Saco: 3 brancas, 6 amarelas; duas retiradas sem reposição. Árvore: $\tfrac69, \tfrac39$, depois $\tfrac58, \tfrac38$ após amarela e $\tfrac68, \tfrac28$ após branca. Exatamente uma amarela: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. Pelo menos uma branca: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. Dado pelo menos uma branca, ambas brancas: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

O coeficiente de correlação de produto-momento $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ mede associação LINEAR ($-1 \le r \le 1$); interprete no contexto. A reta de regressão por mínimos quadrados de $y$ sobre $x$ é $y = a + bx$ com $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ e $a = \bar y - b\bar x$ — apenas utilizável para prever $y$ a PARTIR de $x$, e apenas dentro da faixa de dados (extrapolação é o perigo sinalizado). Inverta $x$ e $y$ e a reta será diferente.

Exemplo resolvido — regressão codificada (WST01 June 2025 Q3). Com $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ sobre 12 dias: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; o pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — dias mais quentes, menos gás. O regressão de $w$ sobre $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, logo $w = -3.46t + 30.9$; divida passar por 11.5 para $d$ em $t$: $d = -0.301t + 2.69$. Em $t = 2$: $d = 2.09$ m³, e cada adicional grau significa cerca de $0.3$ m³ menos gás.

Uma variável aleatória discreta assume valores isolados com probabilidades $p(x) = P(X = x)$ somando-se a 1; sua tabela de função de probabilidade é o objeto. Esperança $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, variância $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. A função acumulada $F(x_0) = P(X \le x_0)$ soma as probabilidades até $x_0$. A distribuição DISCRETA UNIFORME em $1, \dots, n$ tem $E(X) = \tfrac{n+1}2$ e $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

Exemplo resolvido — rotina completa (WST01 junho 2025 Q1). X com probabilidades 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 em 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. A desigualdade $3X - 3 < X + 2$ resolve-se para $X < 2.5$, logo $P = 0.5$ — resolva para $X$ PRIMEIRO, depois some. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; e $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ pela regra de codificação.

Para a distribuição Normal $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, padronize: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ depois leia a tabela. A simetria faz metade do trabalho: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ e $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Problemas inversos fornecem $z$ da tabela, depois $x = \mu + z\sigma$; duas condições na mesma $k$ dão equações simultâneas.

Exemplo resolvido — sacos de farinha (WST01 junho 2025 Q6). Sacos pequenos $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. De 4 sacos, exatamente 2 acima de 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Sacos grandes $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ com o percentil 85 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, logo $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. Se $P(X > k) = P(Y < 2k)$, então $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, logo $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, e $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• Dê várias razões pelas quais modelos estatísticos são usados; mantenha "barato e rápido" mais uma.
• Calcule densidades de frequência para classes desiguais; compare barras do histograma por razão; interpole quartis dentro da classe contendo; marque valores atípicos segundo a regra declarada.
• Combine conjuntos de dados através de $\sum x$ e $\sum x^2$; inverta codificação nas estatísticas de $S$; preveja o efeito de deslocamento ou escala na média, variância e DP.
• Resolva questões de probabilidade usando diagramas de Venn e árvores, com e sem reposição; inverta condicionais com $P(A\cap B)/P(A)$.
• Calcule $r$ a partir das estatísticas de $S$ e interprete-o; ajuste $y = a + bx$; faça previsões apenas dentro da faixa; retorne dados codificados à variável original.
• Execute a rotina DRV discreta: probabilidades somam 1, resolva desigualdades para $X$ primeiro, $E(X)$, $E(X^2)$, variância, codificação linear; cite os resultados uniformes.
• Padronize em ambas as direções para questões Normais; use simetria; termine problemas com duas condições usando equações simultâneas.