P3 · Pure Mathematics 3

Matemática Pura 3 (P3) estende P1 e P2: funções racionais e inversas, módulo, transformações combinadas, funções trigonométricas recíprocas e forma harmônica, ajuste de modelo log-gráfico regras completas de diferenciação, integração por reconhecimento e métodos numéricos. Conhecimento de P1 e P2 é pressuposto e pode ser avaliado na prova WMA13/01 (1 hora 30 minutos, 75 pontos; mesmas regras de calculadora e caderno de fórmulas).

Fórmulas obrigatórias para P3 (não no caderno):

Simplifique expressões racionais fatorando e cancelando; divisão algébrica servem denominadores até quadráticos. Cancelar apenas fatores, nunca termos.

Uma função é uma correspondência um-para-um ou muitos-para-um; seu domínio são as entradas permitidas e seu contradomínio as saídas. A composição $fg$ significa "faça $g$ primeiro, depois $f$". A inversa $f^{-1}$ desfaz $f$ (existe onde $f$ é um-para-um), e $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; o gráfico de $f^{-1}$ reflete o gráfico de $f$ em $y = x$.

Exemplo resolvido — inversa e composição (adaptado de Edexcel IAL WMA13 junho 2025 Q1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Contradomínio de $f$.

• Em $x = 0$: $f(0) = 0$; quando $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ por baixo, e $f$ está aumentando (maior $x$ resulta em maior $f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) Encontre $f^{-1}(x)$.

• Faça $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ e resolva para $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Verificar: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) Resolva $f^{-1}(x) = f(x)$.

• Verifique: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

O módulo $|x|$ é $x$ para $x \ge 0$ e $-x$ para $x < 0$: $y = |ax + b|$ é a reta $y = ax + b$ com sua parte negativa refletida acima do eixo. Dado $y = f(x)$, esboce $y = |f(x)|$ (reflita qualquer parte abaixo do eixo) e $y = f(|x|)$ (mantenha a metade direita, reflita-a para a esquerda). Resolva equações modulares graficamente ou por casos, testando cada solução.

Transformações combinadas aplicam as regras P1 juntas, por exemplo $y = 2f(3x)$ ou $y = f(-x) + 1$: alongamentos multiplicam, translações depois deslocam; a ordem dada no programa é $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ combinadas em uma única expressão ($y = f(ax+b)$ como tal não é exigido).

Exemplo resolvido — equação modular (exemplo próprio do programa). Resolva $|2x - 1| = x + 5$.

• Caso $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (satisfaz $x \ge \tfrac12$).
• Caso $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• Ambas as soluções são $x = 6$ e $x = -\tfrac43$. Verifique: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

As funções recíprocas:

com identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ e $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. Seus gráficos possuem assíntotas onde a função denominador é zero. As funções inversas $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ precisam de domínios restritos: $\arcsin: [-1, 1] \to [−π2, π2]$, $arccos: [−1,1] → [0, π]$, $arctan: ℝ{R} → (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

Forma harmônica: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ com $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tan\alpha = \dfrac ba$ — um número, um ângulo, prontos para maximizar ou resolver.

Exemplo resolvido — forma harmônica (adaptado de Edexcel IAL WMA13 junho 2025 Q2). Expresse $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ na forma $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• Expanda $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ e iguale: $25\cos\alpha = 7$ e $25\sin\alpha = 24$, logo $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ e
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• Verifique: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ e $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

Exemplo resolvido — prova de identidade (adaptado de Edexcel IAL WMA13 junho 2025 Q8a). Prove $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• Escreva $3x = 2x + x$ e use a fórmula do ângulo composto:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• Substitua:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 − 1 = 0$ — and $tan(π/2)$ é indefinido ✓ consistente.

$y = e^x$ passa por $(0, 1)$ e cresce sem limite; $\ln x$ é sua inversa com domínio $x > 0$ e o eixo $y$ como assíntota. Resolva $e^{ax+b} = p$ taking $\ln$, e $\ln(ax + b) = q$ por elevação à potência.

Modelos log-gráfico: para $y = ax^n$, tomar logaritmos resulta em $\log y = n\log x + \log a$ — graficar $\log y$ contra $\log x$ gera uma linha reta com inclinação $n$ e ordenada na origem $\log a$. Para $y = kb^x$, graficar $\log y$ contra $x$: inclinação $\log b$, ordenada na origem $\log k$.

Exemplo resolvido — recuperar lei de potência (adaptado de Edexcel IAL WMA13 junho 2025 Q3). Uma reta $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ passa por $(-3.5, 0)$ e $(0, -2)$. Expresse $y$ como $px^q$.

• Inclinação: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; ordenada na origem $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• Conversão: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, logo
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Verificação com um ponto da reta: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

Exemplo resolvido — modelo de decaimento exponencial (adaptado de Edexcel IAL WMA13 junho 2025 Q6). Um processador esfria conforme $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ em °C, $t$ em minutos), partindo de 75 °C, atingindo 25 °C após 5 minutos; encontre $A$, $k$ e o instante em que a temperatura cai a 9 °C por minuto.

• Em $t = 0$: $75 = 21 + A$, logo $A = 54$.
• Em $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Taxa: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; igualar a $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• O valor inicial é 75 °C e o limite de longo prazo é 21 °C.
• Verificação: em $T = 2.19$, $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, caindo a $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/min ✓. O limite do modelo é 21 °C (temperatura ambiente) — plausível para grandes $t$.

Diferencie $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), mais somas e diferenças.

Três regras ampliam o alcance: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ derivam da regra do quociente. A diferenciação implícita usa $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

Exemplo resolvido — produto e cadeia juntos (dos próprios exemplos do programa). Diferencie $e^{-x^2}\sin 3x$ (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junho 2025 Q7).

• Regra do produto com $u = e^{-x^2}$ (cadeia: $u' = -2xe^{-x^2}$) e $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• Verifique em $x = 0$: derivada $= 1 \times (3 - 0) = 3$, e próximo a $0$ a curva comporta-se como $\sin 3x$ com inclinação 3 ✓.

Integre as formas padrão diretamente, e use formas de reconhecimento (identificar $f'$ dentro da integral):

Identidades trigonométricas convertem $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ em formas integráveis ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

Exemplo resolvido — identidade primeiro (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junho 2025 Q5). Encontre $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• Ângulo duplo com $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, logo $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• Verifique diferenciando: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

Exemplo resolvido — reconhecimento. Encontre $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• O numerador é a derivada do denominador ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• Verificar: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. A forma com expoente funciona da mesma maneira: com $u = 3x^2 + 4$ e $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  e ao derivar $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ obtém-se $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• Mudança de sinal: se $f$ é contínua em $[a, b]$ e $f(a)f(b) < 0$, uma raiz está entre $a$ e $b$. Divida o intervalo ao meio para localizar a raiz com qualquer precisão.
• Iteração: um rearranjo $x_{n+1} = f(x_n)$ a partir de um valor inicial converge para um ponto fixo (ou não — verifique sempre contra um limite de mudança de sinal).

Exemplo resolvido — localizar e iterar (adaptado de Edexcel IAL WMA13 Junho 2025 Q7). O ponto estacionário de $y = e^{-x^2}\sin 3x$ próximo a $x = 0.4$ satisfaz $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(a) Com $x_1 = 0.4$:

• Verifique se a iteração converge: $|x_3 - x_2|$ pequeno e os valores tendem a 0.43 ✓. (b) Mostre que a raiz é 0.430 até 3 casas decimais: defina $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (ou a expressão da derivada do exemplo resolvido acima):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ é contínua, e a mudança de sinal entre 0.4295 e 0.4305 delimita uma raiz, portanto a raiz é 0.430 até 3 c.d. ✓.

• Simplifique expressões racionais; fatorize antes de cancelar; divida por divisores lineares ou quadráticos divisores.
• Trabalhe com domínio, imagem, composição e inversas; verifique inversas compondo até $x$.
• Esboçar e resolver equações de módulo por casos com verificação; combinar duas transformações em um gráfico.
• Usar sec, cosec, cot e suas identidades; conhecer os domínios restritos das funções inversas.
• Converter $a\cos\theta + b\sin\theta$ para $R\cos(\theta \pm \alpha)$; extrair máximos e resolver.
• Provar identidades de ângulo composto e duplo; usá-las diretamente e inversamente.
• Resolver $e^{ax+b} = p$ e $\ln(ax+b) = q$; recuperar $y = ax^n$ e $y = kb^x$ a partir de gráficos logarítmicos.
• Diferenciar usando regra do produto, quociente e cadeia, incluindo $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; usar $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• Modelar crescimento e decaimento; interpretar o valor inicial e limite assintótico; criticar o modelo.
• Integrar formas padrão; identificar $\int f'/f$ e $\int f'(f)^n$; usar identidades em funções trigonométricas ao quadrado .
• Localizar raízes por mudança de sinal com afirmação de continuidade; executar e verificar uma iteração.