M1 · Mechanics 1

Mecânica 1 (M1, prova WME01/01, 1 hora 30 minutos, 75 pontos, primeira avaliação Junho 2019) é a unidade aplicada da International AS Mathematics: P1 e P2 são pressupostos. Adote $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ a menos que informado de outra forma, e apresente respostas aproximadas para 2 ou 3 algarismos significativos. Esta referência cobre pressupostos de modelagem, vetores em mecânica, cinemática de aceleração constante, leis de Newton com partículas conectadas, momento linear e impulso, atrito, estática e momentos.

Obrigatório para M1 (não está no caderno de fórmulas — decore):

As palavras no enunciado são instruções. Uma partícula tem massa, mas não tamanho; uma **placa tem área, mas não espessura; uma barra tem comprimento, mas não espessura; um corpo rígido mantém sua forma. Leve significa sem massa; uma corda leve sem carga sobre uma polia lisa tem a mesma tensão em toda extensão. Uniforme significa densidade constante, logo uma barra uniforme tem seu centro de massa no ponto médio. Uma corda inextensível mantém seu comprimento fixo; uma corda esticada sobre uma única polia fixa iguala as magnitudes das velocidades dos extremos, e uma superfície lisa versus uma superfície rugosa determinam se o atrito atua. Uma polia leve e lisa altera a direção da tração, não seu valor. Declare o pressuposto utilizado — "lisa, portanto sem atrito" — porque os pontos são atribuídos à modelagem tanto quanto à álgebra.

Deslocamentos, velocidades, acelerações e forças são vetores: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ tem magnitude $5$ e direção $\tan^{-1}(-4/3)$ a partir do eixo positivo $x$. Decomponha em componentes, trabalhe componente por componente e combine no final. O resultante de $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ é $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. Com $\mathbf i$ leste e $\mathbf j$ norte, um rumo é medido no sentido horário a partir do norte: o vetor $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ aponta sudoeste, a $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ a oeste do sul verdadeiro, portanto seu rumo é $180 + 23 = 203°$.

Exemplo resolvido — vetores de posição e rumos (WME01 Junho 2025 Q2). A partícula A tem $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ e $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. Velocidade $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, so $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

Aceleração constante significa que as fórmulas suvat se aplicam uma vez por fase; a disciplina são os sinais. Escolha positivo, escreva $s, u, v, a, t$ com sinais para cada fase e selecione a fórmula que evita a incógnita que não deseja. Gráficos: num gráfico velocidade–tempo, a inclinação é aceleração e a área é deslocamento (área abaixo do eixo conta como negativa); um gráfico de velocidade–tempo não pode ser negativo, então movimento ascendente seguido de descendente aparece como um V.

Exemplo resolvido — cima e baixo (WME01 Junho 2025 Q3). Uma bola é projetada verticalmente para cima a partir de A, 12 m acima do solo em B, e leva 4 s para chegar a B. Considerando para cima como positivo, com $A$ como origem, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, logo $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 s.f. 17). Velocidade no solo: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, logo $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. O gráfico velocidade-tempo é um V: descendo de 16.6 até zero no topo (depois $16.6/9.8 = 1.7$ s), depois subindo para 22.6 em $t = 4$ — a descida é mais longa e atinge maior velocidade; ambas as partes têm inclinação de magnitude $g$.

Segunda lei de Newton, aplicada numa direção ao longo de uma linha: $F_{\text{net}} = ma$ com todas as forças resolvidas e sinalizadas. Para duas partículas conectadas por uma corda leve inextensível, escreva uma equação de movimento para CADA corpo (mesma tensão, mesma magnitude de velocidade), depois elimine $T$. Em um plano inclinado, resolva ao longo e perpendicularmente à encosta; $\tan\theta = 3/4$ significa $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

Exemplo resolvido — duas cordas num batelão (WME01 Junho 2025 Q4). Forças de 800 N a $25°$ acima da linha de movimento e 500 N a $\alpha$ abaixo dela puxam um batelão reto pelo canal. Perpendicularmente ao movimento não há aceleração: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, logo $\sin\alpha = 0.676$ e $\alpha = 43°$. Ao longo do movimento, com massa 15000 kg e resistência 750 N: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, resultando em $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — respostas com três casas decimais são esperadas quando os números são tão pequenos.

Exemplo resolvido — polia, início ao fim (WME01 Junho 2025 Q8). Bolas P (massa $kM$) e Q (massa $3M$, $k < 3$) penduradas sobre uma polia fixa leve e lisa aceleram a $\tfrac g5$. Equações de movimento: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P para cima) e $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q baixo). Eliminando $T$: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, logo $5(3-k) = 3+k$ e $k = 2$. O corda puxa a polia para baixo com $2T$: com $M = 0.5$ kg, $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ N, logo a força é $23.5$ N. Quando Q toca o chão após cair 2.5 m, sua velocidade é $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$; se reboundar em $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, o impulso sobre Q é $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s. P então sube contra a gravidade sozinha por $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ s após uma fase de descida de $5/\sqrt g = 1.60$ s: tempo total até parar $\approx 1.9$ s.

Momento $mv$ e impulso $I = mv - mu$ são assinalados ao longo da linha. A terceira lei de Newton torna o impulso exercido sobre cada um dos dois corpos colidentes igual em magnitude e oposto em direção — use apenas um deles, não ambos. Para uma colisão direta, conservação do momento $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ requer sinais consistentes; coeficiente de restituição NÃO está em M1.

Exemplo resolvido — impulso em ambos os corpos (WME01 Junho 2025 Q1). P (massa $km$, velocidade $5u$) atrapalha Q (massa $3m$, velocidade $2u$); depois P ainda se move para frente a $2u$ e Q a $v$. O impulso sobre Q é $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, logo $v = 3.5u$. O impulso sobre P é igual e oposto: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, logo $k = 1.5$.

Em uma superfície áspera, a força de contato divide-se na reação normal $R$ (perpendicular) e atrito $F$ (ao longo, opondo-se ao movimento ou à sua tendência). Em movimento: $F = \mu R$ com $\mu$ o coeficiente de atrito. Em equilíbrio $F \le \mu R$, com igualdade no equilíbrio limite — a expressão "pronto para mover" autoriza $F = \mu R$.

Exemplo resolvido — pacote em inclinação áspera (WME01 junho 2025 Q6). Com $\tan\theta = \tfrac34$ e $\mu = \tfrac14$: perpendicular, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; ao longo (cima positivo, desacelerando): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, logo $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — a desaceleração é $\tfrac45g$, e a resposta deve permanecer como fração exata de $g$. Segurado em repouso na inclinação por uma força $X$ para cima do plano (massa 2 kg): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, logo $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

Uma partícula está em equilíbrio quando a força resultante é zero: decomponha em duas direções perpendiculares e iguale ambos os totais a zero, ou desenhe um triângulo vetorial fechado. Peso $mg$ para baixo, reação normal perpendicular à superfície, tensão ao longo de uma corda afastando-se do corpo (empuxo ao longo de uma haste empurra), atrito ao longo da superfície opondo-se ao deslizamento. Em solo áspero em repouso, $F$ é qualquer valor que feche o polígono, limitado a $\mu R$.

Exemplo resolvido — forças em equilíbrio (original). Uma partícula de peso 50 N pendurada em duas cordas leves em $40°$ e $60°$ em relação à vertical. Decompondo horizontalmente: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; verticalmente: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. Da primeira, $T_2 = 0.742T_1$; depois $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, logo $T_1 = 44$ N e $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

O momento de uma força em relação a um ponto é força × distância perpendicular, com sinal definido por sentido. Um corpo rígido em equilíbrio tem momento resultante nulo em QUALQUER ponto — então escolha o pivô que anule a maior quantidade de incógnitas. "À beira de tombar sobre X" significa que a reação em outro lugar caiu para zero e os momentos são calculados em torno de X.

Exemplo resolvido — uma barra sobre uma borda (WME01 Junho 2025 Q5). Uma barra não uniforme AB de comprimento $3a$ repousa sobre uma borda horizontal com a aresta em C, $AC = 2a$, centro de massa $d$ de A. Uma força ascendente $P$ em B tomba-a sobre A: momentos em A dão $3aP = Wd$. Uma força descendente $1.25P$ em B tomba-a sobre C: $1.25Pa = W(2a - d)$. Substituindo $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (em unidades de $a$): $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, logo $1.25d = 6a - 3d$, resultando em $4.25d = 6a$ e $d = \tfrac{24a}{17}$. A lição: cada caso de tombamento possui seu próprio pivô, e apenas o momento do peso permanece inalterado entre eles.

• Identifique as suposições de modelagem aplicadas (partícula, barra leve, corda inextensível, liso/áspero) e explique o que cada uma simplifica.
• Trabalhe com vetores posição e velocidade componente a componente; converta direções para rumos; encontre posições relativas num mesmo instante.
• Resolva problemas suvat de fase única e múltiplas fases com sinais fixos por fase; leia declives e áreas nos gráficos de movimento; esboce a velocidade-tempo V para movimento sobe-abaixo.
• Aplique $F = ma$ por corpo ao longo da linha de movimento; trate partículas conectadas por polias com equações pareadas; encontre a força numa polia como $2T$.
• Use impulso-momento em UMA partícula do par colidente; conserve momento com sinais consistentes.
• Decompor forças de contato em $R$ e $F$; aplicar $F = \mu R$ ao mover ou limitar; resolver em planos inclinados usando $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ para $\tan\theta = 3/4$.
• Feche polígonos de forças para equilíbrio em duas direções; limite o atrito estático a $\mu R$.
• Calcule momentos no pivô que elimina incógnitas; alterne os pivôs quando o ponto de tombamento mudar.