| English | 의미 |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | 독립적인 |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 상호 배타적인 |
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | 표본 공간 |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | 나무 도식 |
| replacement/rɪˈpleɪsmənt/ | 복원 |
두 사건 동시에 발생
- 주사위를 굴리고 동전을 던질 때, 6 AND 앞면이 나올 확률은 얼마입니까?
- 결합된 사건에는 두 가지 규칙이 필요합니다: AND (곱하기)와 OR (더하기).
AND — 곱하기 (독립 사건)
- 두 독립적인 사건(하나가 다른 것에 영향을 주지 않을 때):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
결합된 사건(combined events)
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
두 사건을 결합하세요: 면적 모델(area model) 은 AND(중첩)와 OR(합집합)을 보여줍니다.
두 독립的事件이 모두 일어나는 경우(AND), 당신은:
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독립的事件에 대해 P(A and B) = P(A) × P(B)입니다.
OR — 더하기 (상호 배타적 사건)
- 두 상호 배타적인 사건(두 사건이 동시에 일어날 수 없을 때):
확률 트리(probability tree)
각 가지에 따른 확률을 곱하면; 네 가지 outcomes는 항상 1로 합산됩니다.
상호 배타적 mutually exclusive 사건에 대해, P(A or B) = P(A) + P(B)입니다.
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상호 배타적 사건은 동시에 일어날 수 없으므로, Their 확률을 더해야 합니다.
결과를 나타내는 세 가지 방법
- 표본 공간 도표: 모든 결과의 표(두 개의 주사위 → $36$개의 셀).
- 벤 다이어그램: 결과를 겹치는 집합으로 분류합니다.
- 트리 다이어그램: 각 단계마다 가지가 있으며, 가지를 따라 곱한 후 원하는 경로의 확률을 더합니다.
벤 다이어그램은 결과를 분류합니다: 겹치는 부분은 $\text{P}(A\text{ and }B)$이며, 두 원 내부의 모든 것은 $\text{P}(A\text{ or }B)$입니다.
따라 곱하고, 사이에서 더하기. 트리 다이어그램에서 각 가지의 확률을 따라 곱하여 해당 경로의 확률을 구한 후, 원하는 경로들의 확률을 더하여 총확률을 계산합니다.
두 주사위의 6×6 격자(36칸)에서 합이 7이 되는 칸은 몇 칸입니까?
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1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — 6칸이므로, P(7) = 6/36 = 1/6입니다.
트리 다이어그램에서 가지에 ______하고 경로 사이에 더합니다.
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각 가지에 따라 확률을 곱해 해당 경로의 확률을 얻고, 원하는 경로를 더합니다.
복원 및 비복원
- 복원(With replacement): 매번 선택할 때 확률이 동일하게 유지됩니다.
- 비복원(Without replacement): 추첨이 끝날 때마다 전체 개수와 개수가 변경됩니다.
- $3$개 빨강, $5$개 파랑 주머니: 복원 시 P(빨강, 빨강) = $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. 비복원 시 = $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
벤 다이어그램은 복합 사건을 보여줍니다: 겹치는 부분(교집합)은 AND, 전체 영역(합집합)은 OR입니다.
빨간 공 3개, 파란 공 5개의 주머니에서 Replacement을 하여 두 번 Drawing합니다. P(빨강, 빨강) = 9/b입니다. b는 무엇입니까?
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(3/8) × (3/8) = 9/64이므로, b = 64입니다.
같은 주머니에서 Replacement 없이抽取합니다. 빨간 공 하나를 뺀 후 Remaining한 빨간 공은 몇 개입니까?
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초기에 빨간색 카운터 3개가 있었으며, 하나를 빼면remaining한 빨간색 카운터는 2개이고total카운터는 7개입니다.
정확히 하나는 두 가지 경로
- 2 개의 빨간 마커와 3 개의 파란 마커를 교체하며 두 번 그립니다. 각 단계마다 빨강은 $2/5$, 파랑은 $3/5$입니다. 정확히 한 번 빨강인 경우(RB와 BR 포함)는 $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$입니다.
- 최소 하나 빨강은 보事件을 통해 더 쉽게 구할 수 있습니다: $p=1-(3/5)^2=16/25$. 여기에는 RR과 두 가지 혼합 경로가 모두 포함됩니다. '정확히 하나'와 '최소 하나'를 혼동하지 마십시오.
2개의 빨간색과 3개의 파란색 카드를 교차放回(교체)하여 두 번 뽑았을 때, 정확히 한 번 빨간색이 나올 확률을 구하시오.
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RB와 BR은 각각 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48을 준다.
이해했습니다
- AND → 곱하기 (독립적일 때), OR → 더하기 (상대 배타적일 때)
- 트리에서는 가지를 따라 곱하고, 원하는 경로를 더합니다.
- 교체하지 않고(Higher), 두 번째 확률이 변합니다 ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)