| English | 의미 |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | 부피 |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | 표면적 |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | 직육면체 |
| prism/ˈprɪzəm/ | 프리즈름 |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | 원기둥 |
| cone/kəʊn/ | 원뿔 |
| sphere/sfɪə/ | 구 |
수영장에 물이 얼마나 차는가?
- 길이 25m, 너비 10m, 깊이 2m인 수영장에는 $25 \times 10 \times 2 = 500\text{ m}^3 = 500\,000$ 리터의 물을 담습니다.
- 부피는 입체가 얼마나 많은 것을 담을 수 있는지 알려줍니다. 표면적은 재료가 얼마나 표면을 덮는지 알려줍니다.
부피 확장 실험실
표면적은 스케일^2에 따라 증가합니다
길이의 스케일을 변경하여 부피가 표면적보다 빠르게 증가함을 확인하십시오.
일반적인 입체의 부피
| 입체 | 부피 |
|---|---|
| 직육면체 | $l \times w \times h$ |
| Prism | 단면적 $\times$ × 길이 |
| 원기둥 | $\pi r^2 h$ |
| 각기둥 | $\dfrac{1}{3} \times$ × 밑면적 $\times h$ |
| 원뿔 | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| 구 | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
원주체(prism) 는 길이에 걸쳐 동일한 단면을 가집니다. 원기둥은 원형 원주체입니다: 단면 $= \pi r^2$, 따라서 부피 $= \pi r^2 \times h$입니다.
기자의 피라미드는 거대한 사각뿔입니다 — 부피와 표면적을 계산할 수 있는 실제 입체입니다
반지름이 5 cm이고 높이가 10 cm인 원기둥이 있습니다. 이 원기둥의 부피는 kπ cm³입니다. k의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
부피 = πr²h = π(25)(10) = 250π이므로, k = 250입니다.
반지름 r인 구의 부피는 다음과 같습니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
구 부피 = (4/3)πr³; 4πr²는 이 구의 표면적입니다.
반지름이 3 cm이고 높이가 4 cm인 원뿔이 있습니다. 이 원뿔의 부피는 kπ cm³입니다. k의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
부피 = (1/3)πr²h = (1/3)π(9)(4) = 12π이므로, k = 12입니다.
직육면체의 한 변은 4 cm, 다른 한 변은 3 cm, 높이는 5 cm입니다. 부피를 구하십시오(cm³).
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
부피 = l × w × h = 4 × 3 × 5 = 60 cm³.
표면적
- 모든 바깥쪽 면의 넓이를 더하십시오.
- 원기둥: 곡면 $2\pi rh$ plus two circular ends $2\pi r^2$. Total $= 2\pi rh + 2\pi r^2$.
- 구: $4\pi r^2$.
표면적 ≠ 부피. 원기둥의 부피는 $\pi r^2 h$(입방 단위)를 사용하지만, 표면적은 $2\pi rh + 2\pi r^2$(제곱 단위)를 사용합니다. 이들을 섞어 쓰는 것은 흔한 실수입니다.
기자의 피라미드는 사각뿔이며, 3차원 입체입니다
동일한 원기둥(r = 5, h = 10)의 총 표면적은 kπ cm²입니다. k의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
2π(5)(10) + 2π(5²) = 100π + 50π = 150π이므로, k = 150입니다.
원기둥의 표면적과 부피는 같은 공식을 사용합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
부피 = πr²h (입방 단위); 표면적 = 2πrh + 2πr² (제곱 단위). 서로 다른 공식입니다.
worked example (해설 예시)
- 원기둥 $r = 5$, $h = 10$:
- 부피 $= \pi(5^2)(10) = 250\pi\text{ cm}^3$.
- 표면적 $= 2\pi(5)(10) + 2\pi(5^2) = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^2$.
부피는 넓이에 기반합니다: 원기둥은 원($\pi r^2$)이 높이($h$)로 확장된 것입니다.
쌓인 용기는 직육면체이며, 부피는 길이 × 너비 × 높이입니다
원뿔의 표면적과 뿔의 부피
- 반지름 3 cm, 수직 높이 4 cm, 빗변 5 cm인 원추체는 곡면적 $S_c=\pi rl=15\pi\text{ cm}^2$을 가진다. 전체 적합을 위해 원형 밑면을 더하면 총 $S=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$이 되며, 부피 $V=\pi r^2h/3=12\pi\text{ cm}^3$ 계산 시에는 수직 높이를 사용한다.
- 밑면적 $30\text{ cm}^2$과 수직 높이 8 cm인 사각뿔은 체적 $V=Ah/3=80\text{ cm}^3$을 가진다. 표면적을 구하려면 밑면과 삼각형 측면을 더하되, 각 면의 수직 높이를 사용해야 한다.
바닥 반지름 r = 3 cm, 빗변 길이 ⟨slant height⟩ = 5 cm인 원뿔이 있다. 전체 표면적이 kπ cm²일 때, k의 값을 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
곡면적은 15π이고 바닥 면적은 9π이므로, k = 24이다.
바닥 면적이 30 cm²이고 높이가 8 cm인 사면체가 있다. 부피를 cm³ 단위로 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
V = 밑면적 × 높이 / 3 = 30 × 8 / 3 = 80.
이해했습니다
- 원기둥 부피 $= \pi r^2 h$; 구 $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$; 원뿔 $= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
- 원기둥 표면적 $= 2\pi rh + 2\pi r^2$; 구 표면적 $= 4\pi r^2$
- $r=5$, $h=10$ 원기둥: 부피 $250\pi$, 표면적 $150\pi$