원, 호 및 부채꼴

어휘

English	의미
circumference/sɜːˈkʌmfrəns/	원주
area/ˈeərɪə/	면적
sector/ˈsektə/	부채꼴
arc length/ɑːk leŋθ/	호 길이

English

The number that never ends

$\pi \approx 3.14159\dots$ is the ratio of every circle's circumference 圆周 to its diameter.
It's irrational — the digits never repeat and never end. The ancient Egyptians approximated it as $\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.

English

Circumference and area 面积

For a circle with radius $r$ (diameter $d = 2r$):

$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^2$$

Example

Radius $7\text{ cm}$: circumference $= 2\pi(7) = 14\pi\text{ cm}$, area $= \pi(7^2) = 49\pi\text{ cm}^2$.

Watch out

Don't confuse $r$ and $d$. If you're given the diameter, halve it first. A circle with diameter $10$ has radius $5$, so area $= \pi(5)^2 = 25\pi$, NOT $\pi(10)^2 = 100\pi$.

A sector is the fraction of the whole circle, so its arc and area are that fraction of and

A sector 扇形 is the fraction $\tfrac{\theta}{360}$ of the whole circle, so its arc and area are that fraction of $2\pi r$ and $\pi r^2$

탐색하기

호 & 부채꼴

s = rθ · A = ½r²θ

더 큰 각 또는 반지름은 더 긴 호와 더 큰 부채꼴 면적을 의미합니다.

연습

반지름이 7 cm인 원이 있습니다. 이 원의 면적은 kπ cm²입니다. k의 값은 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

반지름이 7 cm인 원이 있습니다. 이 원의 둘레는 kπ cm입니다. k의 값은 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

지름이 10 cm인 원의 면적은 100π cm²입니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

English

Arcs and sectors

A sector is a slice of the circle between two radii, with angle $\theta$.
It is the fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:

$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$$

A circle with marked sectors and arcs, showing how the angle θ gives the fraction of the full circle

A sector with angle $\theta$ is $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle — the same fraction applies to arc length 弧长 and area.

English

Worked example

$\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: fraction $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
Arc $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
Area $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.

A circle: circumference = pi d and area = pi r squared

연습

각도가 90°이고 반지름이 8 cm인 부채꼴이 있습니다. 이 부채꼴의 면적은 kπ cm²입니다. k의 값은 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

각도가 60°이고 반지름이 12 cm인 부채꼴이 있습니다. 이 부채꼴의 호 길이는 kπ cm입니다. k의 값은 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

부채꼴은 전체 원의 θ/______fraction입니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

English

Arc length is not sector perimeter

A sector of radius 6 cm and angle $120^{\circ}$ has fraction $1/3$. Arc length $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ cm; area $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
Its perimeter also includes two radii: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ cm. Core sector angles are factors of $360^{\circ}$; Extended can use other angles.