반복적 예치 과정 포함 · 고난이도
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| recurrence relation/rɪˈkʌrəns rɪˈleɪʃn/ | 재귀 관계 |
예금주는 10%의 이자를 받은 후 매년 50 위안을 추가합니다. 예금은 이자 이후에 이루어지므로 순서가 잔고에 영향을 미칩니다.
- 예금주는 10%의 이자를 받은 후 매년 50 위안을 추가합니다. 예금은 이자 이후에 이루어지므로 순서가 잔고에 영향을 미칩니다.
- 이 수업에서는 **반복 관계(recurrence relation)**를 다룹니다: 이전 값을 기반으로 다음 값을 얻는 규칙입니다.
수학적 구조 선택하기
- 업데이트 규칙과 초기 값을 작성하십시오. 명시된 순서대로 연산을 적용하고, 이전 출력을 다음 입력으로 사용하십시오. 반복 B next=1.1B+50은 1.1(B+50)과 다릅니다. 표를 사용하여 첫 전체 기간 임계점을 찾을 수 있으며, 이전 값과 Crossing(초과) 값을 모두 검증하십시오. 반복(iteration)은 방정식을 푸는 것뿐만 아니라 성장, 감쇠 또는 기타 반복 과정을 모델링하는 데 사용할 수 있습니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
왜 B_next=1.1B+50와 B_next=1.1(B+50)는 다른 결과값을 내는가요?
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초기값 B₀=1000에서 시작할 때, 첫 번째 공식은 B₁=1150을 주지만, 두 번째 공식은 B₁=1.1×1050=1155을 산출합니다. 5위안차이는 시간이 지날수록 커지므로 연산 순서를 정확히 유지해야 합니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
B₀=1000이고 Bₙ₊₁=1.1Bₙ+50일 때, B₁=1150, B₂=1315, B₃=1496.5입니다. 잔고는 3년 뒤에初めて1400를 초과하는데, 이는 1315≤1400<1496.5이기 때문입니다. 만약 예금이 이자 전에 이루어졌다면, B₁=1.1×1050=1155이 되어 5 위안 더 많아집니다. 감쇠 및 상환 규칙 V next=0.8V+20을 시작값 200에서 적용하면, 값은 180에서 164으로 변합니다. 고정점(fixed point)은 V=0.8V+20을 만족하므로, 즉 V=100입니다. 100보다 큰 값들은 이 고정점으로 감소해 갑니다. 고정점은 업데이트에 의해 보존되는 값을 의미하며, 모든 유한 단계에서 정확히 도달한다는 주장을 의미하지는 않습니다.
반복적인 예탁이 있는 반복 과정
업데이트 규칙과 초기 값을 작성하십시오.
작업 예시 문장을 분류하고, 각 결정에 근거하는 단위 또는 불변량을 설명하십시오.
B₀=1000이고 B next=1.1B+50일 때, B₁을 구하십시오.
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1.1×1000+50=1150.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 연산 순서를 유지하고 매번 업데이트된 값을 사용하십시오. 조기에 반올림하거나 초기 값과 첫 번째 업데이트된 값을 혼동하지 마십시오. 연속적인 분수 기간 추정치는 자체적으로 전체 기간 질문에 답하지 못합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
이자 전에 예금을存入하는 것은 이자 후에 예금하는 것과 항상 같은 결과를 낸다는 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.
동일한 업데이트식을 사용하여 B₂을 구하십시오.
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1.1×1150+50=1315.
이자 계산 전 예치는 이자 계산 후 예치와 항상 동일한 결과를 산출합니다.
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연산 순서를 유지하고 매번 업데이트된 값을 사용하십시오. 일찍 반올림하거나 초기 값과 첫 번째 업데이트 값을 혼동하지 마십시오. 연속적인 분수 기간 추정값만으로는 전체 기간 질문의 답이 되지 않습니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- AQA R16 Higher는 성장/감쇠를 일반 반복 과정으로 확장합니다. 모델의 가정을 명시하고, 초기 값, 반복 관계 및 임계점 해석을 제공하십시오. 미적분 없이 대입法을 사용하여 제안된 고정점을 검증하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
V next=0.8V+20의 고정점을 구하십시오.
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V=0.8V+20를 풀면: 0.2V=20입니다.
각 재귀(recurrence) 개념과 그 의미를 매칭하십시오.
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재귀는 업데이트 규칙과 초기값을 필요로 하며, 고정점(fixed point)은 V=g(V)를 만족합니다. 전체 기간의 정답은 분수 추측이 아니라 bracketing 값(reservoir value)을 통해 구해야 합니다.
과정에 활용하십시오
- 8300 · 고등(Higher) · 3.3. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 등급과 규격을 매칭하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
이전 값을 기반으로 다음 값을 얻는 규칙입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.