방정식의 근을 위한 수치 반복법 · 고등 과정
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복 계산(반복법) |
Will repeated calculation settle down?
- An equation has no convenient factorisation. Can repeated calculation locate a solution without guessing random values?
- This lesson studies iteration 迭代: Repeat a rule, using the previous output as the next input.
Choose the mathematical structure
- Rearrange an equation as x=g(x), choose x₀ and use x_(n+1)=g(x_n). Record sufficient working precision. A stable-looking sequence must still be checked in the original equation; not every rearrangement converges. A sign change across continuous inputs can check a rounded root.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
x₀=3에서, x next=x²-2는 발산하지만 x next=√(x+2)는 수렴합니다. 그 이유는 무엇입니까?
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동일한 방정식 x²-x-2=0은 여러 형태의 x=g(x)를 제공합니다. 고정점 근처에서 수렴에는 |g′|<1이 필요합니다; x²-2은 근에서 이 조건을 만족하지 않아 반복값이 발산하지만 (x+2)는 2로 수렴합니다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For x²-x-2=0, use x next=√(x+2) with x₀=1: x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185, x₃≈1.98289. The positive fixed point is 2 because 2=√4 and 2²-2-2=0. The rearrangement only seeks a nonnegative root; the original equation also has root -1. Using x next=x²-2 from 3 instead gives 7 then 47, so a different rearrangement can diverge.
방정식의 근에 대한 수치적 반복법
방정식을 x=g(x) 형태로 변형하고, x₀를 선택한 뒤 x_(n+1)=g(x_n)를 적용하십시오.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
x₁를 다음 식에서 구하십시오: x_next = √(x + 2), 단, x₀ = 1입니다.
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√(1+2)=√3.
Test a tempting shortcut
- Use the previous iterate, not the starting value every time. Keep more digits than the final answer. A sign change needs continuity; a jump across a vertical asymptote does not guarantee a root.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every rearrangement of an equation converges from every starting value. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
양수 고정점을 구하시오.
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L²-L-2=0를 풀고 비음수 해를 유지하십시오.
모든 방정식 변형은 모든 시작값에서 수렴합니다.
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매번 시작값 대신 이전 반복 값을 사용하십시오. 최종 정답보다 더 많은 자릿수를 유지하십시오. 부호 변화에는 연속성이 필요하며, 수직 점근선을 넘는 도약이 근을 보장하지는 않습니다.
Interpret a new situation
- AQA A20 Higher uses numerical iteration and suffix notation. Use the calculator to follow the stated rule, then report the requested rounding with a check. Newton derivatives are outside this GCSE lesson.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
x=2에서 원방정식의 잔차를 구하시오.
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2²-2-2=0.
각 반복 단계를 목적과 매칭하십시오.
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apparent limit는 L=g(L) AND 원본 방정식을 모두 만족해야 합니다; 잔차(residuals) 확인은 발산하거나 잘못된 근의 재배열을 포착하는 데 도움이 됩니다.
Use this in your course
- 8300 · Higher · 3.2. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
Repeat a rule, using the previous output as the next input. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.