| English | 의미 |
|---|---|
| state vector/steɪt ˈvektə/ | 상태 벡터 |
| state/steɪt/ | 상태 |
| transition matrix/trænˈsɪʃn ˈmeɪtrɪks/ | 전이 행렬 |
행렬로 미래를 예측하기
- 매년 도시에서 교외로 이동하는 사람들과, 다시 도시로 돌아오는 사람들이 있습니다.
- 올해의 인구를 기준으로 내년을 예측할 수 있습니까?
- 행렬은 이동률을 저장하고 예측을 수행해 줍니다.
- 이것이 행렬이 인구, 시장, 기상 등 다양한 현상을 모델링하는 방법입니다.
상태 벡터: 현재 상황
- 각 범주의 현재 양을 **상태 벡터(state vector)**로 모아, 항목별로 요소를 배치합니다.
- 도시와 교외의 경우: $\begin{bmatrix}\text{city}\\ \text{suburb}\end{bmatrix}$, 예를 들어 $\langle 600, 400\rangle$(천 명 단위)라고 합시다.
- 각 상태는 추적 중인 하나의 요소이며, 벡터는 시간상의 스냅샷입니다.
- 내년의 스냅샷은 새로운 상태 벡터가 될 것입니다.
이러한 유형의 모델에서 상태 벡터(state vector) 는…
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상태 벡터는 각 범위에 현재 얼마나 있는지를 나열합니다 — 상태별 항목 하나씩.
전이 행렬: 규칙
- **전이 행렬(transition matrix)**은 모든 상태 쌍 간의 이동 비율을 저장합니다.
- 각 숫자는 비율입니다: 예시, 도시 거주자의 $5\%$이 매년 교외로 이동합니다.
- 아래 그림은 두 상태와 화살표에 표시된 연간 이동률을 보여줍니다.
- 같은 비율들이 행렬의 요소가 됩니다.
상태 간 이동률을 저장하는 행렬을 ____ 행렬이라고 부릅니다.
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"전이 행렬(transition matrix)"은 각 상태에서 다른 상태로 이동하는 비율을 포함합니다.
전이 행렬에 현재 상태 벡터를 곱하면 다음 상태를 예측할 수 있습니다.
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한 번의 행렬-벡터 곱하기 단계는 모델을 한 시간 단위만큼 진행시킵니다.
시간을 거슬러 올라가기
- 전이 행렬에 현재 상태 벡터를 곱하면 내년의 값을 얻습니다.
- 행렬-벡터 곱셈 하나 = 한 해_advance.
- 2년을 원하면 다시 곱합니다. 10년? 10번 곱합니다.
- 모델은 곱셈 단계마다 한 걸음씩 앞으로 나갑니다.
행렬의 적절한 사용 사례?
행렬은 변환, 시스템 및 전이를 모델링합니다. 각 과제를 분류하십시오.
두 시간 후의 상태를 예측하려면…
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각 곱하기 단계가 한 단위를 진행하므로, 두 단위는 두 번의 곱하기(또는 행렬의 제곱을 곱하기)가 필요합니다.
행렬 모델에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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같은 전이 행렬을 각 기간마다 재사용합니다 — 다시 그리지 않습니다. 나머지 세 가지 문장이 맞습니다.
장기
- 반복 단계는 종종 변하지 않는 **정적 상태(steady state)**로 수렴하는 경우가 많습니다.
- 정적 상태에서 도시를 떠나는 사람 수와 들어오는 사람 수가 같아—인구가 일정하게 유지됩니다.
- 행렬을 사용하면 매년 시뮬레이션하지 않고도 이러한 장기 균형을 찾을 수 있습니다.
- 같은 원리는 웹 페이지 랭킹, 유전학, 전염병 모델에도 적용됩니다.
모델을 일관되게 설정하십시오: 상태 벡터가 행렬의 오른쪽에 곱해지는지 여부를 한 번 결정하고, 각 열(또는 줄)의 비율이 $1$이 되도록 하여 사람이 사라지거나 추가되지 않도록 하십시오. 불일치하는 설정은 무의미한 예측을 조용히 생성합니다.
도시 $= 600$, 교외 $= 400$(천 명 단위). 매년 $5\%$ 도시 → 교외, $2\%$ 교외 → 도시.
- 도시 이탈: $0.05 \times 600 = 30$; 진입: $0.02 \times 400 = 8$.
- 새 도시 $= 600 - 30 + 8 = 578$; 새 교외 $= 400 + 30 - 8 = 422$.
- 행렬은 이 연산을 단일 곱셈으로 정확히 수행합니다.
상태 벡터는 각 상태의 현재 양을 보관하고, 전이 행렬은 이동률을 저장합니다. 행렬에 상태 벡터를 곱하면 모델을 한 기간 Advance하며, 이를 반복하면 장기적 동향을 예측할 수 있습니다. 이것이 행렬이 실제 세계의 변화를 모델링하는 방식입니다.