| English | 의미 |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | 입력 |
| output/ˈaʊtpʊt/ | 출력 |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | 합성 |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 역함수 |
행렬은 함수이다
- 당신은 한 숫자를 받아 다시 숫자를 반환하는 함수를 사용했습니다.
- 행렬은 벡터를 받아 벡터를 반환합니다 — 역시 하나의 함수입니다.
- 이 함수의 '규칙'은: 입력 벡터에 행렬을 곱하는 것입니다.
- 행렬을 이렇게 보는 것은你已经知道的函数知识와 연결시킵니다.
입력과 출력
- 입력은 벡터이며, 행렬이 이를 처리하고, 출력은 새로운 벡터입니다.
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$은 $\langle 4, 5\rangle$을 $\langle 8, 15\rangle$로 바꿉니다 — 각 방향을 신장시킵니다.
- 행렬을 기계라고 생각하십시오: 상단에 벡터가 들어가고, 하단에 변형된 벡터가 나옵니다.
- 입력의 전체 영역은 출력의 전체 영역으로 매핑됩니다.
2 × 2 행렬을 함수로 볼 때, 그 입력과 출력은 모두…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
함수로서의 행렬은 입력 벡터를 받아 출력 벡터를 반환합니다 — 평면에서 평면으로의 함수입니다.
행렬 $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ (입력 $\to$, 출력)은 $\langle 4, 5\rangle$을 $\langle 8, ?\rangle$로 보냅니다. 출력 $y$은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
행 2는 $\langle0, 3\rangle$이므로, 출력 $y = 3\cdot5 = 15$; 전체 출력은 $\langle8, 15\rangle$입니다.
평면에서의 함수
- 입력값은 모두 평면 위의 벡터이며, 출력값도 평면 위의 벡터입니다.
- 즉, $2\times2$ 행렬은 전체 평면을 한 번에 변형하는 함수입니다.
- 두 개를 연결하면—one의 출력이 다음 one의 입력이 되는—**합성(composition)**이 됩니다.
- 합성의 행렬은 단순히 두 행렬의 곱입니다.
두 행렬 함수를 연결(하나에 이어 하나)하는 것은 합성이며, 그 행렬은 곱셈 결과입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
일반 함수의 합성과 마찬가지로, 행렬 함수의 연결은 행렬을 곱합니다.
함수의 역
- 함수가 역을 가질 수 있다면, 그 역함수는 **역함수(inverse function)**라고 합니다.
- 행렬 함수의 경우, 역함수는 정확히 **역행렬(inverse matrix)**입니다.
- 이는 행렬식이 0이 아닐 때만 존재합니다—이전과 동일한 조건입니다.
- 행렬을 적용한 뒤 그 역을 적용하면 모든 벡터가 원래 위치로 돌아갑니다.
함수로서의 행렬
행렬은 입력 벡터를 받아 출력 벡터를 반환합니다 — 벡터에 대한 함수입니다.
행렬 함수의 역함수는 …에 의해 주어집니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
역행렬은 함수의 작용을 취소합니다 — 오직 행렬식이 0이 아닐 때 존재합니다.
함수로서의 행렬에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
출력은 숫자가 아닌 벡터입니다. 나머지 세 가지 문장은 맞습니다.
함수적 관점이 도움이 되는 이유
- 도메인, 코도메인, 합성, 역함수 등 함수 개념을 재사용할 수 있게 해줍니다.
- 합성을 곱으로 해석하면 왜 변환 순서가 중요한지 설명해 줍니다.
- 행렬식 판정법은 "이 함수는 역을 가지는가?"로 바뀝니다.
- 이는 미적분 전 함수에서 선형대수로 넘어가는 다리가 됩니다.
모든 행렬 함수가 역을 가질 수는 없습니다. 행렬식이 0이면 행렬은 평면을 직선 위에 압축하여—여러 개의 입력이 하나의 출력에 대응하므로—역함수가 존재하지 않습니다. 역변환 가능성은 행렬식이 0이 아니어야 함을 요구합니다.
$f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$이라고 가정합시다.
- 입력 $\langle1,1\rangle$ → 출력 $\langle2,3\rangle$.
- 입력 $\langle4,5\rangle$ → 출력 $\langle8,15\rangle$.
- 행렬식 $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$이므로, $f$은 $\tfrac12$와 $\tfrac13$ 방향으로 축소되는 역함수를 가집니다.
행렬은 입력과 출력이 모두 벡터인 함수로, 평면에서 평면으로의 매핑입니다. 행렬 함수를 연결하는 것은 합성이며, 그 행렬은 곱입니다. 역함수는 역행렬이며, 이는 행렬식이 0이 아닐 때만 존재합니다.