| English | 의미 |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 선형 변환 |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | 단위 정사각형 |
| shear/ʃɪə/ | 전단 변형 |
행렬은 점을 이동시킨다
- 행렬은 단순히 숫자를 저장하는 것을 넘어 — 평면상의 모든 점을 이동시킬 수 있습니다.
- 벡터를 입력하면, 변형된 새로운 벡터를 출력합니다.
- 사각형이 기울어질 수 있으며, 격자는 신장되거나 회전할 수 있습니다.
- 이를 통해 행렬은 공간을 변형시키는 기계가 됩니다.
선형 변환이란 무엇인가
- 선형 변환은 모든 벡터를 새로운 벡터로 매핑하는 함수입니다.
- 원점을 고정하고 격자선을 곧고 일정하게 유지합니다.
- 곡선이 생기거나 찢어지지 않으며 — 평행선은 여전히 평행합니다.
- 평면상의 모든 선형 변환은 행렬과의 곱셈으로 표현할 수 있습니다.
A linear transformation of the plane always…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A linear transformation keeps the origin fixed and maps straight, evenly-spaced grid lines to straight, evenly-spaced lines.
열은 축이 어디로 가는지를 보여준다
- 열 1은 벡터 $\langle 1, 0\rangle$이 이동한 위치를 보여주며, 열 2은 $\langle 0, 1\rangle$이 이동한 위치를 보여준다.
- 이 두 이미지가 어디로 가는지를 알면 모든 점이 어디로 gaan하는지 알 수 있습니다.
- 벡터를 변환하려면 행렬에 벡터를 곱해야 합니다(행-열 곱셈).
- 단위사각형이 평행사변형으로 변하며 — 그 형태가 변환의 특성을 드러냅니다.
The columns of the matrix tell you where the two basis ____ land.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Column 1 is where $\langle1,0\rangle$ lands and column 2 is where $\langle0,1\rangle$ lands — that fully describes the transformation.
The matrix $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ sends $\langle1,1\rangle$ to $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. What is the new $x$?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Row 1 dotted with $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, so the image is $\langle3, 1\rangle$.
익숙한 변환들
- 확대/축소(Scaling): 대각행렬이 축 방향으로 신장하거나 축소합니다.
- 회전(Rotation): 특수한 행렬이 평면을 원점을 중심으로 돌립니다.
- 전단(Shear): 한 방향은 미끄러뜨리고 다른 방향은 고정합니다 — 이탤릭 글자와 같습니다.
- 반사(Reflection): 평면을 특정 직선에 대해 뒤집습니다.
Linear transformations as matrices
A rotation is a linear transformation; this matrix turns the plane a quarter turn.
Doing one linear transformation after another corresponds to multiplying their matrices.
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Composition of transformations is matrix multiplication — that is why the product order matters.
Select all true statements about linear transformations.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Linear transformations keep lines straight — they never curve the grid.
변환의 결합
- 한 변환을 수행한 후 또 다른 변환을 수행하면 — 결과적으로 단일의 새로운 변환이 됩니다.
- 이 변환의 행렬은 두 행렬의 곱입니다.
- 행렬 곱셈은 순서에 의존하므로, "회전 후 전단"은 "전단 후 회전"과 다릅니다.
- 이것이 컴퓨터 그래픽에서 변환들을 행렬을 곱하여 적층하는 이유입니다.
변환을 결합할 때 순서는 중요하다. $A$을 적용한 후 $B$을 적용하는 것은 행렬 곱셈 $BA$에 해당하며, 두 번째 변환의 행렬은 왼쪽에 온다. 순서를 바꾸면 보통 다른 결과가 나오는데, 이는 행렬의 $BA \ne AB$과 같다.
단위사각형의 모서리에 $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$을 적용하십시오.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — 아래辺의 길이가 두 배가 됩니다.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — 위辺이 오른쪽으로 미끄러집니다(전단).
- 사각형이 그림에 표시된 대로 기운 평행사변형이 됩니다.
선형 변환은 모든 벡터를 새로운 벡터로 매핑하며, 원점은 고정되고 격자선은 곧게 유지됩니다 — 그리고 모든 변환은 행렬과의 곱으로 표현됩니다. 행렬의 열은 축들이 이동하는 위치이므로, 단위사각형을 평행사변형으로 만듭니다. 변환을 결합한다는 것은 행렬을 곱한다는 것이며, 순서가 중요합니다.