| English | 의미 |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | 매개변수 |
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | 암시적 정의 |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 매개변수 방정식 |
정적 곡선을 움직이게 만들기
- $x^2 + y^2 = 4$과 같은 암시 방정식은 형태를 고정시키지만 운동에 대해서는 아무런 정보를 제공하지 않습니다.
- 이를 애니메이션으로 만들거나 점별로 그래프를 그리려면 곡선을 따라 이동하는 규칙이 필요합니다.
- 그 규칙은 매개변수화입니다: $x$과 $y$을 단일 변수(매개변수)로 표현하십시오.
- 이는 고정된 조건을 곡선을 그리는Moving point(움직이는 점)로 변환합니다.
암시부터 매개변수 형태로
- 암시적으로 정의된 곡선에서 시작하십시오 — $x$과 $y$이 섞인 방정식입니다.
- 모든 점이 이를 만족시키는 매개변수 방정식 $x(t)$, $y(t)$을 찾으십시오.
- 매개변수가 변화함에 따라 점은 정확히 해당 곡선을 그립니다.
- 동일한 곡선, 새로운 서술: 이제 방향과 속도가 내장된 상태입니다.
명시곡선을 매개변수화하는 것은 유용합니다 왜냐하면它…
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매개변수화는 곡선을 따라 걸을 수 있는 규칙을 제공합니다 — $t$ 값을 하나씩 진행하며 그래프를 그리거나 운동을 표현하는 데 매우 좋습니다.
원, 두 가지 방식 모두
- 암시적: $x^2 + y^2 = 4$은 "원점에서 거리가 $2$"이라는 의미입니다.
- 매개변수: $x = 2\cos t$, $y = 2\sin t$이 $t$이 $0$에서 $2\pi$까지 스윕할 때 이를 따라 이동합니다.
- 일치함을 확인: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓
- 피타고라스 항등식은 매개변수화가 방정식을 만족시키는 이유 그 자체입니다.
원 방정식을 운동으로 변환
명시원 x² + y² = 4는 각도가 sweeps됨에 따라 매개변수 x = 2 cos t, y = 2 sin t가 됩니다.
명시원 $x^2 + y^2 = 4$의 매개변수 표현은…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
확인: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓ 이는 모든 $t$에 대해 암묵적 방정식을 만족합니다.
암묵적 곡선 매개변수화에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
매개변수화는 형태를 바꾸지 않습니다 — 동일한 곡선을 서술할 뿐입니다. 나머지 세 가지가 맞습니다.
매개변수화 검증하기
- $x(t), y(t)$이 암시 곡선을 매개변수화함을 확인하려면 이를 방정식에 대입하십시오.
- 방정식이 모든 $t$에 대해 성립하면 매개변수화는 유효합니다.
- 이것이 잘못된 추측을 잡는 방법입니다: 대입하여 참인 명제가 되는지 확인하십시오.
- 삼각함수 항등식 $\cos^2 + \sin^2 = 1$은 원과 타원을 처리할 때 핵심적인 역할을 합니다.
매개변수화를 검증하려면, ____ 방정식에 $x(t)$과 $y(t)$을 대입하여 성립하는지 확인하십시오.
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유효한 매개변수화는 매개변수의 모든 값에 대해 암묵적 방정식을 만족해야 합니다.
하나의 암묵적 곡선은 여러 가지 방식으로 매개변수화될 수 있습니다.
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서로 다른 방향, 속도 또는 시작점은 동일한 곡선의 서로 다른 유효한 매개변수화를 제공합니다.
유효한 매개변수화의 다양성
- 한 곡선에 오직 하나의 '올바른' 매개변수화가 있는 것은 아닙니다.
- 방향 반전, 속도 변경, 또는 시작점 이동 등 모두 유효한 매개변수화를 제공합니다.
- $x = 2\cos t, y = -2\sin t$은 시계 방향으로 동일한 원을 그립니다.
- 문제의 운동 특성에 맞는 매개변수화를 선택하십시오.
매개변수화는 특정 값뿐만 아니라 모든 매개변수 값에 대해 암시 방정식을 만족해야 합니다. 대입하여 단순화함으로써 검증하십시오 — 단일 $t$에서는 작동하지만 다른 곳에서는 실패하는 공식은 해당 곡선의 매개변수화가 아닙니다.
타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$을 매개변수화하십시오.
- $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$을 시도해 보십시오.
- 확인: $\dfrac{9\cos^2 t}{9} + \dfrac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$. ✓
- 따라서 $(3\cos t, 2\sin t)$은 $t$이 $0$에서 $2\pi$로 이동할 때 전체 타원을 그립니다.
매개변수화는 암시적으로 정의된 곡선을 매개변수 방정식 $x(t), y(t)$으로 전환하여 매개변수가 변할 때 이를 그립니다. 암시 방정식에 대입하여 모든 $t$에 대해 성립함을 확인하십시오. 곡선에는 방향과 속도가 다른 여러 유효한 매개변수화가 존재합니다.