| English | 의미 |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | 타원 |
| parabola/pəˈræbələ/ | 포물선 |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | 이중나선 |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | 원뿔단면 |
원뿔 자르기
- 이중 원뿔을 가져와 평평한 면을 다양한 각도로 절단해 보세요.
- 수직으로 자르면 원이 나오고, 약간 기울이면 타원으로 늘어납니다.
- 더 기울이면 포물선으로 열리고, 더욱 급하게 자르면 쌍곡선으로 나뉩니다.
- 이 네 가지 곡선 — 이차곡선들 —은 과학과 디자인 전반에 걸쳐 나타납니다.
이차곡선 가족
- 이차곡선(conic section) 은 원뿔을 평면이 자르는 곡선입니다.
- 네 가지 유형은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선입니다.
- 각각 깔끔한 암시적 식과 기하학적 '거리' 정의를 가집니다.
- 행성은 타원 궤도로 도네고, 던진 공과 위성 안테나는 포물선을 그립니다.
이차곡선은 …에 의해 형성되는 곡선들입니다
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이차곡선은 평면과 원뿔의 교차점이며, 자르는 각도에 따라 원, 타원, 포물선 또는 쌍곡선이 됩니다.
원은 특수한 이차곡선(두 초점이 일치하는 타원)입니다.
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두 초점이 하나의 중심으로 합쳐지면 타원은 완벽한 원이 됩니다.
타원
- 타원은 두 고정 초점(foci)까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합입니다.
- 식은 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$이며, 늘려진 원입니다.
- 원은 두 초점이 하나의 중심으로 합쳐지는 특수한 경우일 뿐입니다.
- 긴 축은 장축(major axis), 짧은 축은 단축(minor axis)입니다.
타원은 초점에 대한 거리의 합이 …인 점들의 집합입니다
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타원 위의 모든 점은 두 초점에 대한 동일한 총거리를 가집니다 — 이 상수값이 형태를 정의합니다.
모든 이차곡선을 선택하십시오.
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삼각형은 이차곡선이 아닙니다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 이차곡선입니다.
포물선과 쌍곡선
- 포물선(parabola) 은 초점과 고정 직선(직준선/directrix)까지의 거리가 같은 점들의 집합입니다.
- 이 식은 $y = ax^2$처럼 보이며, 이는 이차함수의 그래프입니다.
- 쌍곡선(hyperbola) 은 두 초점까지의 거리의 차가 일정한 곳입니다.
- 식은 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$이며, 두 가지 가지로 열립니다.
어떤 이차곡선입니까?
제곱항은 어떤 이차곡선인지 알려줍니다. 각 방정식을 분류하십시오.
각 점이 초점과 직준선(directrix line)에서 등거리인 이차곡선은 ____입니다.
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포물선은 초점에 대한 거리와 고정된 선(직준선)에 대한 거리를 균형 잡습니다.
이차곡선 알아보기
- 식의 형태를 읽으세요: $x^2 + y^2$에 등 계수를 가지는 것은 원입니다.
- $x^2$과 $y^2$에 서로 다른 양의 계수가 있으면 타원입니다.
- 제곱항이 하나만 있으면 포물선, 두 항 사이에 마이너스 부호가 있으면 쌍곡선입니다.
- 제곱항의 부호 패턴이 어떤 이차곡선인지 알려줍니다.
모든 이차곡선이 $x$의 함수는 아닙니다. 원, 타원, 그리고 수평 방향 포물선은 세로선 테스트를 통과하지 못합니다. 이들을 단일 $y = f(x)$로 강제로 표현하려 하기보다, 암시 방정식이나 매개변수 형식으로 설명하십시오.
이차곡선 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$을 식별하십시오.
- 두 항 모두 제곱되어 있고 양수이며, 서로 다른 계수를 가집니다.
- 이는 타원의 방정식입니다.
- 이 도형은 $x = \pm 3$ (장축)과 $y = \pm 2$ (단축) 방향으로 뻗어 있습니다.
이차곡선 — 원, 타원, 포물선, 및 쌍곡선 — 은 원뿔을 절단하여 얻는 곡선들입니다. 각 곡선에는 거리 정의(예: 타원은 두 초점까지의 거리의 합)와 고유한 암시 방정식이 있으며, 대부분은 $x$의 함수가 아닙니다.