| English | 의미 |
|---|---|
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | 암시적 정의 |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | 원뿔단면 |
y가 홀로 서지 않을 때
- 우리가 자주 만나는 함수들은 명시적(exPLICIT)입니다: $y$이 홀로 있으며, $x$에 대한 어떤 식과 같습니다.
- 그러나 $x^2 + y^2 = 25$ 같은 식은 $x$과 $y$를 얽어 엮습니다.
- "$y = \dots$"을 깔끔하게 쓸 수는 없어도, 이 식은 여전히 완벽한 곡선을 묘사합니다.
- 이러한 관계는 암시적(implicit)으로 정의되며, 온갖 종류의 도형들을 열어줍니다.
명시적 vs 암시적
- 명시적 함수는 출력을 분리합니다: $y = x^2 - 3$.
- 암시적으로 정의된 관계는 $x$과 $y$이 섞여 있는 상태를 남깁니다: $x^2 + y^2 = 25$.
- 암시적 형식은 곡선 위의 점들이 만족해야 하는 조건을 나타냅니다.
- 이는 종종 도형을 묘사하는 가장 자연스러운 방법입니다.
명시되지 않은 관계란 …인 것입니다
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
암묵적으로 정의된 곡선, 예시 $x^2 + y^2 = 25$은 $x$과 $y$을 섞어put $y$를 분리하지 않습니다.
원, 암시적으로
- 식 $x^2 + y^2 = 25$은 "원점으로부터의 거리가 $5$"이라는 뜻입니다.
- 이 식을 만족하는 모든 점은 반지름 $5$인 원 위에 있습니다 — 고전적인 이차곡선입니다.
- 형태를 보기 위해 식을 변형할 필요가 없습니다; 식 자체가 이미 형태를 담고 있습니다.
- 타원, 포물선, 쌍곡선 역시 모두 이 같은 암시적 방식으로 정의됩니다.
방정식 $x^2 + y^2 = 25$는 …을 묘사합니다
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
원점에서 거리 $5$에 있는 모든 점이 $x^2 + y^2 = 25$을 만족합니다 — 반지름이 $5$인 원입니다.
$x^2 + y^2 = 25$와 같은 명시되지 않은 관계는 $x$의 함수일 필요가 없습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
대부분의 $x$ 값은 두 개의 $y$ 값을 줍니다(원의 위아래), 따라서 수직선 테스트를 통과하지 못합니다.
명시되지 않은 관계에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
대부분의 암묵적 관계는 $y$에 대해 깔끔하게 풀 수 없습니다. 나머지 세 가지가 맞습니다.
x에 대한 함수가 아님
- 대부분의 $x$ 값에 대해, 암시적 곡선은 두 개의 $y$ 값을 줍니다(위쪽과 아래쪽).
- 따라서 보통 수직선 검정을 통과하지 못합니다 — 이는 함수가 아닌 관계입니다.
- $x^2 + y^2 = 25$을 $y$에 대해 풀면 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$이 됩니다: 두 개의 반원 가지.
- 각 가지는 단독으로는 함수입니다; 둘이 합쳐져서 전체 곡선을 이룹니다.
Explicit or implicit?
명시방정식은 y를 구하기 없이 x와 y 사이의 관계를 나타냅니다. 각각 분류하십시오.
$x^2 + y^2 = 25$를 $y$에 대해 풀면 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$을 얻습니다 — 이는 ____ 별도의 가지입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\pm$는 원을 상반 원과 하반 원으로 나눕니다 — 두 개의 명시함수입니다.
암시적 곡선 다루기
- 점을 찾기 위해 한 좌표를 대입하고 다른 하나를 구하세요.
- 그래프를 그리려면 식의 형태에서 도형을 파악하세요(원, 타원, …).
- 어떤 암시적 관계는 $y$에 대해 아예 풀릴 수 없습니다 — 그대로 다루면 됩니다.
- 미적분학에서 암시적 미분은 $y$을 단 한 번도 분리하지 않고 기울기를 구합니다.
암시적 식은 *관계(relation)*이지, 자동으로 함수가 아닙니다. $y = f(x)$을 쓸 수 있다고 가정하지 마십시오 — 원의 경우 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$을 얻는데, $\pm$을 잊으면 곡선의 절반이 무의식적으로 사라집니다.
$x^2 + y^2 = 25$ 위에서 $x = 3$인 점들을 찾으십시오.
- 대입: $9 + y^2 = 25$, 따라서 $y^2 = 16$.
- 그러면 $y = \pm 4$ — 두 점, $(3, 4)$과 $(3, -4)$.
- 하나의 $x$ 값, 두 개의 $y$ 값: 비-함수 관계의 특징입니다.
암시적으로 정의된 관계는 $x$과 $y$을 하나의 식에 섞어 놓으며, 예를 들어 $x^2 + y^2 = 25$처럼, $y$을 분리하지 않습니다. 원이나 다른 이차곡선을 묘사할 수 있으며, 보통 $x$에 대한 함수는 아닙니다(풀면 $\pm$ 가지), 그리고 종종 곡선을 표현하는 가장 자연스러운 방법입니다.