| English | 의미 |
|---|---|
| simple pendulum/ˈsɪmpl ˈpendjʊləm/ | 단진자 |
| physical pendulum/ˈfɪzɪkl ˈpendjʊləm/ | 물리 진자 |
모든 흔들림은 일정한 주기를 가집니다
- 할아버지 시계의 막대는 일정한 속도로 ticks를 냅니다.
- 그네 타는 아이는 높게 밀어주든 낮게 밀어주든 같은 시간을 걸칩니다.
- 흔들리는 물체는 얇든 두껍든 고유의 일정한 박자를 가집니다.
- 두 가지 공식으로 지지점에 대한 작은 흔들림의 주기를 계산할 수 있습니다.
단순 진자
- 단순 진자는 길이 $L$인 가벼운 줄에 매달린 질점입니다:
- 중력은 각도에 따라 증가하는 복원 토크를 제공합니다.
- 작은 각도일 때 흔들림은 등가속력 운동(SHM)을 합니다.
단순 진자에는 $L = 0.25\ \text{m}$과 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$이 있습니다. 이 진자의 주기(s, 소수점 1 자리까지)?
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$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{0.25/9.8} \approx 1.0\ \text{s}$.
단진자의 무게추 질량을 두 배로 늘리면 주기가 변합니다.
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$T = 2\pi\sqrt{L/g}$에는 질량이 없으며, 무게추의 질수는 공식에서 상쇄됩니다.
물리 진자
- 물리 진자는 지지점을 중심으로 흔들리는 모든 경체입니다:
- $I$은 지지점에 대한 회전 관성이며, $d$은 지지점에서 중심까지의 거리입니다.
- 자, 배트, 다리 등은 이 주기로 흔들립니다.
물리 진자의 주기에 $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$이 포함될 때, $d$은 무엇입니까?
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$d$는 회전축부터 질량 중심까지의 거리로, 중력의 힘줄(lever arm)에 해당합니다.
하나는 다른 하나의 특수한 경우입니다
- 거리 $L$에 있는 질점에 대해: $I = mL^2$이고 $d = L$입니다.
- 플러그인: $T = 2\pi\sqrt{mL^2/(mgL)} = 2\pi\sqrt{L/g}$.
- 즉, 단순 진자(simple pendulum)는 물리적 진자(physical pendulum)의 가장 간단한 경우입니다.
단진자와 물리 진자
길이를 바꾸고 중력가속도를 조절하면 진자의 주기가 어떻게 반응하는지 확인해 보십시오. (진폭은 거의 영향을 주지 않습니다.)
단진자 공식은 물리 진자 공식의 특수한 경우입니다.
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$I = mL^2$과 $d = L$을 $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$에 대입하면 $2\pi\sqrt{L/g}$을 얻게 됩니다.
한쪽 끝이 축(pivot)으로 고정된 길이가 $L$인 균일 막대는 관성모멘트 $I = \tfrac{1}{3}mL^2$과 질량 $d = L/2$을 가집니다.
- $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{mgd}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\tfrac{1}{3}mL^2}{mg\cdot L/2}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}$.
- 같은 길이의 단순 진자보다 약간 빠르게 흔들립니다.
물리 진자의 경우, 회전 관성 $I$를 …을 기준으로 측정해야 합니다.
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체계가 회전축을 중심으로 회전하므로, $I$는 해당 축에 대해 계산됩니다.
두 진자의 주기 공식은 모두 흔들림 각도가 …일 때만 유효합니다.
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작은 각도에서만 복원 토크가 변위에 비례하여 등간격 진동(SHM)이 성립합니다.
두 공식 모두 작은 각도를 가정한다. 약 $15^\circ$를 넘으면 운동은 더 이상 진동 운동(SHM)이 아니다. 물리 진자에서는 $I$을 회전축에 대해 취한다(중심에 대한 $I$을 알고 있다면 평행축 정리를 사용할 수 있다). 이때 $d$을 회전축과 질량 중심 사이의 거리로 설정하며, 전체 길이가 아니다. 단순 진자의 경우 진자 무게는 상쇄되지만, 물리 진자의 경우에는 그렇지 않을 수 있다.
단순 진자(줄에 매달린 점질점)는 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$로 흔들리고, 물리적 진자(축에 고정된 임의의 강체)는 $T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)}$로 흔들리는데, 여기서 $I$은 축에 대한 값이고 $d$은 질량중심을 향합니다. 단순 진자는 물리적 진자의 특수한 경우로서, 두 경우 모두 작은 각도에서만 등가simple harmonic motion(SHM)을 이룹니다.