| English | 의미 |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | 幂级数 |
Reusing known series to build new ones
- You don't have to compute every Taylor series from derivatives. Manipulate the ones you know.
- Start from the geometric series $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ or the $e^x,\sin,\cos$ series.
- Substitute, multiply, differentiate, or integrate to represent a new function as a power series 幂级数.
- It's algebra on series — fast and clever.
Substitution and multiplication
- Substitute an expression for $x$: replace $x$ with $-x^2$ in $\frac1{1-x}$ to get $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Multiply a series by a power of $x$ or a constant: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Each move keeps a valid power series (adjust the interval of convergence for substitutions).
- No new derivatives needed — just plug and combine.
기하 급수로부터 생성됨
y = a / (1 − b·x)
$-x^2$을 $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$에 대입하여 $\tfrac{1}{1+x^2}$의 급수를 구성함 — 새로운 미분은 불필요함.
$u=-x^2$을 $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$에 대입하면 $\tfrac{1}{1+x^2}=$이 됨
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$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
어떤 연산이已知幂级数에서새幂级数를 생성하는가?
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대입, 스케일/곱하기, 미분, 적분 — 임의 재배치는 아닙니다.
Differentiating and integrating term by term
- Inside its interval of convergence, a power series can be differentiated or integrated term by term.
- Integrate $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ to get $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Differentiate a series to get the series of the derivative.
- These moves generate famous series (like $\arctan$ and $\ln(1+x)$) from simpler ones.
수렴 구간 내에서幂级数는 항별로 미분 및 적분할 수 있습니다.
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수렴 구간 내부에서 유효한 조작입니다.
$\sum(-1)^n x^{2n}$을 항별로 적분하면 ...의 급수가 됩니다.
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$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
A powerful toolkit
- Substitute, scale, multiply, differentiate, integrate — five moves, endless new series.
- This is often far faster than computing high derivatives directly.
- The new series inherits (roughly) the radius of convergence of the one you started from.
- Recognizing which move to apply is the real skill.
幂级数를 항별로 적분하면 상수 ____이 추가되며, 이는 알려진 값을 통해 결정됩니다.
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예: $\arctan 0=0$이 $C=0$을 고정합니다.
$x\to -x^2$을 대입하면 수렴 구간이 변경될 수 있습니다.
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새 변수의 구간을 다시 유도하십시오.
Term-by-term differentiation and integration are valid only within the interval of convergence (and integrating adds a $+C$ — pin it down with a known value, e.g. $\arctan 0=0$). When you substitute (like $x\to -x^2$), the interval of convergence changes too — re-derive it from the new variable.
Find a power series for $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Start from $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ and substitute $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (for $|x|<1$).
To represent a function as a power series, manipulate a known series: substitute, multiply/scale, or differentiate/integrate term by term (valid within the interval of convergence; integration adds $+C$). E.g. substituting into $\frac{1}{1-x}$ and integrating yields the series for $\frac{1}{1+x^2}$ and $\arctan x$.