| English | 의미 |
|---|---|
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | 라그랑주 오차 한계 |
Bounding a Taylor polynomial's error
- A Taylor polynomial is only an approximation. How wrong can it be?
- The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 gives a guaranteed ceiling on the remainder.
- It uses the next derivative — the first one the polynomial didn't match.
- With it, you can prove an approximation is accurate to a required tolerance.
The bound
- The error of the degree-$n$ Taylor polynomial $P_n$ at $x$ satisfies:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Here $M$ is a maximum of $\big|f^{(n+1)}\big|$ on the interval between $a$ and $x$.
- It looks like the next Taylor term, but with the derivative replaced by its worst-case size $M$.
한계가 상한으로 막는 차이
y = a·e^{bx}
라그랑주 부등식은 $e^x$와 그 테일러 다항식 사이의 차이를 다음 미분함수의 최대 $M$로 상한합니다.
라그랑주 오차 상한은 $|R_n(x)|\le$이다.
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$(n+1)$의 도함수 한계와 $(n+1)!$을 사용합니다.
Finding the pieces
- $(n+1)$: one more than the polynomial's degree — the first missing term's order.
- $M$: a bound on the $(n+1)$th derivative's absolute value between $a$ and $x$ (use the biggest it gets).
- $|x-a|^{n+1}$: the distance from the center, raised to that power.
- Multiply, divide by $(n+1)!$, and you have a guaranteed error ceiling.
차수 $n$인 다항식에 대해, $M$은 어떤 미분함수를 상한으로 하는가?
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차수보다 하나 위: $(n+1)$의 도함수
한계에서 $M$은 ...입니다.
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다음 도함수에 대한最差-case 한계
Proving accuracy
- To show $P_n$ is within, say, $0.001$: compute the Lagrange bound and check it's $\le 0.001$.
- Because the bound overestimates the true error, if the bound is small, the real error is smaller.
- Larger $n$ shrinks the bound (bigger factorial, more accuracy).
- It's the rigorous companion to Taylor approximation.
$M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$일 때: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (소수)
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$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
라그랑주 한계는 실제 오차보다 보통 큰 보장된 상한입니다.
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한계가 작으면 실제 오차도 작습니다.
차수 $n$을 증가시키면 일반적으로 오차 한계는 ...
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더 큰 계승은 한계를 줄여 → 더 높은 정확도를 제공합니다.
Use the $(n+1)$th derivative and the factorial $(n+1)!$ — one past the polynomial's degree, not $n$. $M$ is the maximum of $|f^{(n+1)}|$ on the interval between $a$ and $x$ (a worst-case bound, so pick a value you can justify is large enough). The bound is a guarantee, usually larger than the actual error.
Bound the error of the degree-$2$ Maclaurin polynomial for $e^x$ at $x=0.1$.
- Next derivative: $f'''(x)=e^x$; on $[0,0.1]$, $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- So $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ is within $0.0002$ of $e^{0.1}$. ✓
The Lagrange error bound: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, where $M$ bounds the $(n+1)$th derivative on the interval between $a$ and $x$. It's the next Taylor term with the derivative replaced by its max — a guaranteed error ceiling for proving an approximation meets a tolerance.