| English | 의미 |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | 교대급수 오차 한계 |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
다음 항이 오차를 한계함
교대 급수의 부분합은 참값을 갇아두므로, 오차는 다음(생략된) 항의 크기 이상이지 않습니다.
수렴하는 교대 급수에서, 오차 $|S-S_n|$은 최대 ...까지입니다.
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$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
오차는 마지막에 포함된 것이 아니라 첫 번째 ____ 항에 의해 한계됩니다.
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$b_{n+1}$을 사용하십시오 — 당신이 더하지 않은 항입니다.
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
$1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$를 $3$개의 항으로 근사할 때, 오차 한계는 다음 항 $b_4$입니다. 그것은 무엇입니까?
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$b_4=\tfrac14=0.25$.
참값은 항상 교대 급수의 연속된 부분합 사이에 갇혀 있습니다.
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그것이 다음 항이 오차를 한계하는 이유입니다.
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
이 오차 한계는 교대인지 아닌지에 관계없이 모든 수렴 급수에 적용됩니다.
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검정법의 조건을 만족하는 교대 급수에만 해당합니다.
오차가 $0.01$ 이하임을 보장하려면, 다음 항 $b_{n+1}$이 ...될 때까지 항을 계속 유지하십시오.
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$b_{n+1}\le0.01$이 되면 멈추십시오.
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.