| English | 의미 |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | 교대급수 |
부호가 교대하는 급수
- 일부 급수는 부호가 교대합니다: $+,-,+,-,\dots$, 예를 들어 $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- 이들은 교대 급수(alternating series) 이며, 자체의 부드러운 수렴 판정법이 있습니다.
- 부호의 전환은 항들이 부분적으로 상쇄되게 하여 교대 급수가 더 쉽게 수렴하게 합니다.
- 두 가지 간단한 조건을 가진 하나의 판정법이 이를 처리합니다.
교대 급수 판정법
- 교대 급수 $\sum(-1)^n b_n$ ($b_n>0$을 포함하여)은 두 가지가 모두 만족될 때 수렴합니다:
- 1. 항들이 감소한다: $b_{n+1}\le b_n$, 그리고
- 2. 항들이 0으로 수렴한다: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- 두 조건이 모두 만족되면 교대급수는 수렴합니다.就是这么简单。
Shrinking alternating terms
If the positive part decreases to $0$, the sign flips let the partial sums close in — the series converges.
The Alternating Series Test requires the positive terms $b_n$ to be which?
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Decreasing and limit $0$.
교대가 도움이 되는 이유
- 매번 새로운 항은 이전 항보다 작고 부호가 반대이므로, 이전 항의 효과를 일부 상쇄합니다.
- 부분합이 진동하지만 그 진폭은 줄어드는 경향을 보여 — 한 한계값에 수렴합니다。
- 그래서 $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$는 수렴하지만, $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$(조화 급수)는 발산합니다。
- 이 교대 현상이 조화 항들을 안정적으로 만듭니다。
The alternating harmonic series $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
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$b_n=\tfrac1n$ decreases to $0$ → converges.
The sign ____ let the partial sums close in on a limit.
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Alternation causes partial cancellation.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converges even though $\sum\tfrac1n$ diverges.
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The alternation tames the harmonic terms.
이를 깔끔하게 적용하기
- $(-1)^n$를 제거하고 양수 부분 $b_n$에 대해 두 조건을 확인하세요。
- $b_n$이 감소하는가? $b_n\to0$도 كذلك인가? 두 경우 모두 '네'라면 수렴합니다.
- $b_n$이 $0$로 가지 않는다면, 수열은 발산합니다(대신 n항 검정법 사용).
- $b_n$를 분리하면 이 테스트는 빠릅니다。
You check the two conditions on the positive part $b_n$ after removing $(-1)^n$.
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Isolate $b_n$ first.
If $b_n\not\to0$ for an alternating series, it...
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Terms not $\to0$ → diverges regardless of alternation.
양수 항 $b_n$($(-1)^n$을 제거한 후)에 두 조건을 적용하십시오. 두 가지 모두 필요합니다: 감소하고 극한이 $0$임. 만약 $b_n\not\to0$이면 급수는 발산합니다(n항 테스트). 또한 이 테스트는 교대급수의 수렴을 증명할 뿐, $\sum b_n$나 $\sum|a_n|$에는 아무런 것을 말하지 않습니다(절대수렴 vs 조건부수렴 참고, 레슨 10.9).
교대 조화 급수 $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$는 수렴하는가？
- 양의 부분 $b_n=\tfrac1n$. 감소하는가? 네, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$임. 극한이 $0$인가? 네, $\tfrac1n\to0$임.
- 두 조건이 모두 만족되므로, 교대 급수 테스트에 의해 이 급수는 수렴합니다。
- (단순 조화 급수는 발산함에도 불구하고)。
교대급수 판정법: $\sum(-1)^n b_n$($b_n>0$ 포함)는 항 $b_n$가 감소하고 ⟨$b_n\to0$⟩일 때 수렴합니다. 양의 부분인 $b_n$에 대해 두 조건을 모두 확인하십시오. 교대 성질 덕분에 비교등비급수 $\sum\frac{(-1)^n}{n}$와 같은 급수는 비교등비급수 형태에서는 발산함에도 수렴할 수 있습니다.