| English | 의미 |
|---|---|
| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | 비교 판별법 |
Judging a series by a known neighbor
- If a mystery series looks like a series you already understand, compare them.
- The comparison tests 比较判别法 measure an unknown positive series against a known one (usually a p-series or geometric series).
- Bigger than something that diverges → diverges. Smaller than something that converges → converges.
- Two flavors: a direct comparison and a limit comparison.
Direct Comparison Test
- For positive terms with $0\le a_n\le b_n$:
- If $\sum b_n$ converges, then the smaller $\sum a_n$ converges too.
- If $\sum a_n$ diverges, then the bigger $\sum b_n$ diverges too.
- Squeeze from the right side: bounded above by a convergent series, or below by a divergent one.
알려진 급수와 비교하십시오
알려진 수렴(또는 발산) 급수에 의해 상한 또는 하한으로 묶인 양의 급수는 같은 운명을 따르므로, 지배적인 비교 대상을 선택하십시오.
$0\le a_n\le b_n$과 $\sum b_n$가 수렴하면, $\sum a_n$도...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
수렴하는 급수보다 작음 → 수렴합니다.
비교 검정법은 양의 항을 요구합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
양적 급수의 크기를 비교합니다.
Limit Comparison Test
- Sometimes inequalities are awkward; instead compare growth rates.
- Take $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. If $L$ is a finite positive number ($0<L<\infty$), then $\sum a_n$ and $\sum b_n$ share the same fate.
- Pick $b_n$ from the dominant terms of $a_n$ (e.g. compare $\tfrac{n}{n^3+1}$ with $\tfrac1{n^2}$).
- The limit being positive and finite means they behave alike.
비율 한계 비교 검정법에서, $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$이 $0<L<\infty$와 함께라면...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
유한한 양의 극한 → 동일한 수렴 거동
비율 한계 비교 검정법의 결론을 내리려면, 극한 $L$이 유한해야 하며 ____여야 합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$0<L<\infty$이 필요합니다.
Choosing the comparison series
- Look at the dominant behavior of $a_n$ for large $n$ — the highest powers on top and bottom.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ behaves like $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compare with the p-series $\tfrac1{n^2}$.
- Then either bound it directly or take the limit ratio.
- The right comparison series turns a scary series into a known one.
$\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$을 검정하기 위한 좋은 비교 급수는...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
지배적 거동 $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → $\tfrac1{n^2}$와 비교하십시오.
$\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$과 $\sum\tfrac1{n^2}$가 수렴하므로, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$도...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
수렴하는 급수에 의해 상한으로 묶임 → 수렴합니다.
Comparison tests need positive terms. For Direct Comparison, the inequality must point the right way: to prove convergence, bound above by a convergent series; to prove divergence, bound below by a divergent one. For Limit Comparison, the limit $L$ must be finite and positive ($0<L<\infty$) to conclude same fate.
Does $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge?
- For large $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ behaves like $\dfrac{1}{n^2}$ (a convergent p-series).
- Direct: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, and $\sum\tfrac1{n^2}$ converges → so does the smaller series.
- Therefore $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converges.
The comparison tests judge a positive series against a known one. Direct: bound above by a convergent series (→ converges) or below by a divergent one (→ diverges). Limit: if $\lim\frac{a_n}{b_n}$ is finite and positive, both share the same fate. Choose $b_n$ from $a_n$'s dominant terms.