| English | 의미 |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | 적분 판별법 |
함께 증가하거나 감소하는 급수와 적분
- 급수의 항이nice한 감소 함수에서 유래한다면, 그 운명은 해당 함수의 적분과 일치합니다.
- 적분 테스트는 $\sum a_n$과 적분 $\int f(x)\,dx$을 비교하며, 여기서 $a_n=f(n)$입니다.
- 항을 사각형의 면적으로 생각하십시오——그들은 곡선 아래 영역에 의해 경계됩니다.
- 따라서 부정적 적분이 수렴(혹은 수렴하지 않음)하면 급수도 같은 결과를 취해야 합니다.
조건
- 검사는 $f$가某 지점 $x\ge$ 이후 양수, 연속, 그리고 감소함을 필요로 합니다.
- 그런 다음 $a_n=f(n)$를 정의하고 부정적 적분과 비교하십시오.
- 이러한 조건들은 사각형이 $f$ 아래 영역을挟(gapless)되게 합니다.
- 적용하기 전에 세 가지 조건을 모두 확인하십시오——감소하지 않는 $f$는 비교를 깨뜨립니다.
적분 시험은 $f$가 $[1,\infty)$에서 어떤 조건이어야 하는지 요구하는가?
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양수, 연속, 감소 — 반드시 다항식이 아닐 수도 있다.
적분 시험은 $a_n=f(\ \_\_\ )$를 설정하여 급수와 적분을 연결한다.
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항들은 정수 지점에서의 함수 샘플링이다.
결론
- $\displaystyle\sum a_n$와 $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$는 동시에 수렴하거나 동시에 발산——같은 운명입니다.
- 부정적 적분을 계산하십시오——유한하면 급수 수렴, 무한하면 발산합니다.
- (급수의 합은 적분의 값이 아닙니다—그들은 수렴만 공유할 뿐, 숫자는 공유하지 않습니다.)
- 하나의 부정적 적분으로 전체 급수를 결정합니다.
적분 시험은 $\sum a_n$와 $\int_1^\infty f\,dx$이...
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그들은 값이 아니라 운명을 공유한다.
부정 적분의 값은 급수의 합과 같다.
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그들은 ⟨$\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$⟩의 값이 아니라 수렴성을 공유한다.
작동 원리
- 면적 $a_n$인 사각형들이 곡선 $y=f(x)$ 바로 위나 아래에 맞습니다.
- 따라서 급수는 $\int f$와 $\int f + a_1$ 사이에挟(squeeze)되어——유한 적분은 유한 급수를 의미합니다.
- 이것은 엄밀한 "면적 비교"이며, 합을 평가할 수 있는 적분으로 변환합니다.
- 특히 $\tfrac1{n^p}$ 및 $\tfrac1{n\ln n}$와 같은 항에 유용합니다.
곡선으로 경계를 이루는 직사각형
y = 1/x²
항-직사각형이 $f$ 아래 면적에 맞닿아 있으므로, 급수와 적분은 수렴하거나 발산하거나를 함께 한다.
$\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$(유한)이므로, 급수 $\sum\tfrac1{n^2}$...
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유한 적분 → 수렴하는 급수.
$\int_1^\infty f\,dx$가 발산하면($\infty$로), $\sum a_n$...
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동일한 운명: 발산하는 적분 → 발산하는 급수.
적분 판정법은 $f$ 양수, 연속, 감소 — 세 조건 모두 확인해야 합니다. 또한 이 판정법은 수렴/발산 여부만 알려줄 뿐 값은 알 수 없습니다: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ 일반적으로. 적분의 값을 급수의 합으로 보고하지 마십시오.
급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$에 적분 판정법을 적용하십시오.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$은 $x\ge1$에서 양수, 연속, 감소입니다. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (유한함, 6.13 lezione 참고).
- 적분이 수렴하므로 급수도 수렴합니다. (합은 $\tfrac{\pi^2}{6}$이며, $1$이 아닙니다.)
적분 판정법: 만약 $f$이 $a_n=f(n)$에서 양수, 연속, 감소라면, $\sum a_n$과 $\int_1^\infty f(x)\,dx$는 같은 운명을 공유합니다(둘 다 수렴하거나 둘 다 발산). 부정적분을 계산하여 판단하되, 그 값은 급수의 합이 아닙니다.