| English | 의미 |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | 일반항 판별법 |
발산을 증명하는 빠른 방법
- 복잡한 검사를 실행하기 전에 가장 저렴한 확인을 먼저 하십시오: 항을 살펴보세요.
- 항의 극한 테스트(또는 발산 테스트)는 항들의 극한 $a_n$을 사용합니다.
- 항이 $0$로 수축하지 않으면, 급수는 수렴할 수 없으며—즉각적으로 발산합니다.
- 시도해 볼 첫 번째 방법이며, 오직 발산만 증명합니다.
검사 과정
- 극한 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$를 계산하십시오.
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (또는 극한이 존재하지 않는 경우)이면 급수 $\sum a_n$은 발산합니다.
- 직관: ⟨$0$로 수축하지 않는 조각⟩을 계속 더하면 총량은 절대 안정될 수 없습니다.
- 극한 계산 하나만으로 결론을 내릴 수 있습니다.
Terms that don't reach zero
If a series' terms level off at a nonzero value, the sum can never settle — the nth Term Test proves divergence.
If $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, then $\sum a_n$...
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Nonzero term limit → divergence.
수렴을 증명할 수 없음
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이면 테스트는 판정 불가입니다 — 즉, 무엇에도 대한 정보를 주지 않습니다.
- 급수는 수렴하거나 발산할 수 있으므로 다른 검사를 사용해야 합니다.
- 조화급수 $\sum\tfrac1n$은 극한이 $a_n\to0$임에도 불구하고 발산합니다 — 이 테스트로는 수렴을 증명할 수 없음을 보여주는 반례입니다.
- 따라서 "$0$"라는 극한은 이 검사의 막다른 길이며, 통행증은 아닙니다.
If $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, the nth Term Test is...
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It only proves divergence; a $0$ limit tells you nothing.
The nth Term Test can prove a series converges.
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It can only prove divergence.
The series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges. This shows the nth Term Test...
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A $0$ limit doesn't guarantee convergence.
전략에서의 위치
- 항상 n항 검사를 최선으로 실행하십시오—빠르며 어려운 검사를 피하게 해줄 수 있습니다.
- 항이 $\to0$가 아닌가요? 끝: 발산합니다.
- 항이 $\to0$로 수축하는가요? 실제 수렴 검사(기하급수, 적분, 비교, 비, 교대 급수)로 이동하십시오.
- 이것은 완전한 답변이 아니라 필터입니다.
For $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. So the series...
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$\tfrac12\neq0$ → diverges.
As a fast filter, run the nth Term Test ____ among the convergence tests.
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It's the cheapest divergence check.
항의 극한 테스트는 발산만 증명할 수 있습니다. $\lim a_n=0$이면 테스트는 판정 불가이며, 수렴한다고 결론짓지 마십시오. 가장 흔한 오용 사례는 "$a_n\to0$이므로 수렴한다"는 것입니다 — 틀렸습니다. 이 경우 $\sum\frac1n$는 반례입니다.
무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$는 수렴합니까?
- 항: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. 극한: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- 극한이 $\tfrac12\neq0$이므로, 이 급수는 항의 극한 테스트에 의해 발산합니다.
n항 테스트: $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$(또는 DNE)이면 $\sum a_n$이 발산합니다. $\lim a_n=0$이면 테스트는 결론 없음(수렴을 증명하지 않습니다). 먼저 빠른 발산 필터로 사용하십시오.