| English | 의미 |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | 기하급수 |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 공비 |
정확히 합을 구할 수 있는 유일한 급수
- 대부분의 급수는 더하기 어렵습니다. 기하급수는 친절한 예외——공식(공식)이 있습니다.
- 각 항은 이전 항에 고정된 공비 $r$를 곱한 것: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$입니다.
- 이미 아는 기하수열의 무한 버전입니다.
- 그리고 수렴하는 정확한 조건과 그 값을 알려주는 명확한 규칙이 있습니다.
A geometric sequence
A geometric series adds terms multiplied by $r$ each time — it converges (to $a/(1-r)$) exactly when $|r|<1$.
$|r|<1$일 때만 수렴
- 기하급수는 $|r|<1$(비율이 분수일 때)일 때만 수렴합니다.
- $|r|\ge1$이면 항들은 $0$로 수렴하지 않으므로, 이는 발산합니다.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$)는 수렴합니다; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$)는 발산합니다.
- 단일 숫자 $|r|$(공비)이 모든 것을 결정합니다.
A geometric series $\sum a r^n$ converges exactly when...
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Converges iff the ratio is a fraction, $|r|<1$.
Which geometric series diverges?
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$r=2$ has $|r|\ge1$ → diverges.
합 공식
- 수렴할 때($|r|<1$), 합은 다음과 같습니다:
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$는 첫 번째 항이고 $r$는 공비입니다.
- 대입하면 정확한 무한 합을 얻을 수 있으며, 손으로 극한을 계산할 필요가 없습니다.
The sum of a convergent geometric series is...
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$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ for $|r|<1$.
The formula $\tfrac{a}{1-r}$ can be applied even when $|r|\ge1$.
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Only when $|r|<1$ (convergent).
$a$와 $r$를 올바르게 찾기
- $a$는 급수의 실제 첫 번째 항(시작값)이며, 반드시 $1$일 필요는 없습니다.
- $r$는 연속된 항 사이의 비율——어떤 항을 전 항으로 나누면 됩니다.
- 급수가 $n=1$에서 시작하여 $n=0$에서 시작하지 않는다면, 첫 번째 항을 $a$로 조정해야 합니다.
- 올바른 $a$와 $r$를 사용하면 공식 $\tfrac{a}{1-r}$가 나머지 부분을 처리합니다.
Find $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (a decimal).
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$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
In the formula $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ is the ____ term of the series.
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$a$ is the actual first term.
공식 $\frac{a}{1-r}$은 오직 $|r|<1$일 때에만 적용됩니다. 발산하는 기하급수에 이 공식을 사용하면 의미 없는 결과가 나옵니다. 또한 $a$는 원래 표기된 첫 항이지, 항상 $1$은 아닙니다. 예를 들어 $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$에서 첫 항은 $\tfrac32$이며, $3$가 아닙니다.
급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$의 합을 구하십시오.
- 첫 번째 항 $a=5$, 공비 $r=\tfrac13$입니다. 공비 $|r|<1$이므로 수렴합니다.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
기하급수 $\sum a\,r^n$은 정확히 $|r|<1$일 때만 수렴하며, 이때 합은 $\frac{a}{1-r}$입니다(여기서 $a$은 첫 항, $r$은 공비입니다). 만약 $|r|\ge1$라면 발산합니다. 이는 유일한 정확하고 쉬운 합을 가지는 급수입니다.